bzoj 4869: [Shoi2017]相逢是问候 数论+线段树

题意

给出一个序列a，模数p和一个常数c，要求资瓷两个操作：

0 l r表示把l<=i<=r的a[i]变为ca[i]

1 l r表示查询a[l..r]的和。

n,m<=50000,a[i],c,p<=10^9

分析

首先这题要用到欧拉定理EXT：当x>=φ(p)时有cx≡cxmodφ(p)+φ(p)

因为注意到式子右边的次方上面又是一个相同形式的式子，我们可以用同样的方式递归处理。

那么我们就可以预处理出phi[i]表示p取i次phi后的值。因为一个数最多取O(logn)次phi后就会变为1，所以i最大为logp.然后最后还要多加一个1.

还有一个结论就是一个数在做常数次修改操作后就会变为不动点。

所以我们可以每次找到未被修改完的区间，然后每次暴力修改。

这样复杂度大概是O(nlog3n)，在bzoj上能过。

这里还可以优化掉快速幂的那一个log，就是把一个数分成大于216和小于216的部分，然后分别预处理出来，就可以O(1)做快速幂了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=50005;
const int M=35;

int n,m,phi[M],c,p1,a
,table[32][1<<16][2];
struct tree{int s,tms;}t[N*5];
bool flag[32][1<<16][2];

int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}

int ksm(int x,int y,int MOD,bool &flag)
{
int ans=1;flag=0;
while (y)
{
if (y&1) flag|=((LL)ans*x>=MOD),ans=(LL)ans*x%MOD;
flag|=((LL)x*x>=MOD&&y>1);x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
}
return ans;
}

int bksm(int x,int y,bool &w)
{
int p=x&((1<<16)-1),q=x>>16;
w=flag[y][p][0]|flag[y][q][1]|((LL)table[y][p][0]*table[y][q][1]>=phi[y]);
return (LL)table[y][p][0]*table[y][q][1]%phi[y];
}

int calc(int x,int p)
{
int ret=x;bool flag;
if (ret>=phi[p]) ret=ret%phi[p]+phi[p];
while (p--)
{
x=ret;
ret=bksm(x,p,flag);
if (flag) ret+=phi[p];
}
return ret%phi[0];
}

int get_phi(int n)
{
int w=n,tmp=n;
for (int i=2;i*i<=n;i++)
if (tmp%i==0)
{
w=w/i*(i-1);
while (tmp%i==0) tmp/=i;
}
if (tmp>1) w=w/tmp*(tmp-1);
return w;
}

void updata(int d)
{
t[d].s=(t[d*2].s+t[d*2+1].s)%phi[0];
t[d].tms=min(t[d*2].tms,t[d*2+1].tms);
}

void build(int d,int l,int r)
{
if (l==r)
{
t[d].s=a[l]%phi[0];
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(d*2,l,mid);build(d*2+1,mid+1,r);
updata(d);
}

void modify(int d,int l,int r,int x,int y)
{
if (x>y||t[d].tms==p1) return;
if (l==r)
{
t[d].tms++;
t[d].s=calc(a[l],t[d].tms);
return;
}
int mid=(l+r)/2;
modify(d*2,l,mid,x,min(y,mid));
modify(d*2+1,mid+1,r,max(x,mid+1),y);
updata(d);
}

int query(int d,int l,int r,int x,int y)
{
if (x>y) return 0;
if (l==x&&r==y) return t[d].s;
int mid=(l+r)/2;
return (query(d*2,l,mid,x,min(y,mid))+query(d*2+1,mid+1,r,max(x,mid+1),y))%phi[0];
}

void prework()
{
for (int i=0;i<=p1;i++)
{
table[i][0][0]=table[i][0][1]=1;
if (phi[i]==1) flag[i][0][0]=flag[i][0][1]=1;
int tmp=ksm(c,1<<16,phi[i],flag[i][1][1]),c1=ksm(c,1,phi[i],flag[i][1][0]);
table[i][1][0]=c1;table[i][1][1]=tmp;
for (int j=2;j<(1<<16);j++)
{
flag[i][j][0]=flag[i][j-1][0]|((LL)table[i][j-1][0]*c>=phi[i]);
table[i][j][0]=(LL)table[i][j-1][0]*c%phi[i];
flag[i][j][1]=flag[i][j-1][1]|((LL)table[i][j-1][1]*tmp>=phi[i]);
table[i][j][1]=(LL)table[i][j-1][1]*tmp%phi[i];
}
}
}

int main()
{
n=read();m=read();phi[0]=read();c=read();
p1=0;
while (phi[p1]>1) p1++,phi[p1]=get_phi(phi[p1-1]);
phi[++p1]=1;
prework();
for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
build(1,1,n);
while (m--)
{
int op=read(),l=read(),r=read();
if (!op) modify(1,1,n,l,r);
else printf("%d\n",query(1,1,n,l,r));
}
return 0;
}