【GDOI2018模拟7.9】组合数问题

Description

Input

四个数n,p,k,r

Output

一个整数表示答案

Sample Input

input 1:

2 10007 2 0

input 2:

20 10007 20 0

Sample Output

output 1:

8

output 2:

176

Data Constraint

Solution

这个出题人很良心啊，这么多可以水分的数据范围

直接上正解

考虑此题中C的意义

就是选了一堆物品，数量%k=r的方案数

那么考虑DP

设f[i][j]表示前i个数选的数量%k=j的方案数

那么f[i][j+1]=f[i][j]+f[i][j−1]

即这一次是否选两种方式转移

注意，这里的-1是%k意义下的-1

那么这个DP可以用矩阵乘法优化，然后就可以过了

还有一种优化：可以发现这个DP满足结合律，所以可以直接对DP方程进行快速幂

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define fo(i,a,b) for(ll i=a;i<=b;i++)
#define N 60
#define ll long long
using namespace std;
ll a

,b

,c

,n,m,mo,k,r,ans=0;
void cl()
{
fo(i,0,n) fo(j,0,n) c[i][j]=a[i][j],a[i][j]=0;
}
void ch1()
{
cl();
fo(i,0,n) fo(j,0,n) fo(k,0,n) a[i][k]=(a[i][k]+c[i][j]*b[j][k])%mo;
}
void ch()
{
cl();
fo(i,0,n) fo(j,0,n) fo(k,0,n) a[i][k]=(a[i][k]+c[i][j]*c[j][k])%mo;
}
void mi(ll x)
{
if(x<=1) return;
fo(i,0,n) fo(j,0,n) b[i][j]=a[i][j];
mi(x/2);
ch();
if(x%2==1) ch1();
}
ll mi1(ll a,ll b)
{
if(b==0) return 1;
if(b==1) return a;
ll k=mi1(a,b/2);
k=(k*k)%mo;
if(b%2==1) k=(k*a)%mo;
return k;
}
ll C(ll m,ll n)
{
double jy=1,k=n;
fo(i,m-n+1,m)
{
if(k>0)jy=jy*i/k;
k--;
}
return jy;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&m,&mo,&k,&r);
if(k==1)
{
ans=mi1(2,m);
fo(i,0,r-1)
ans=(ans-C(m,i)+mo)%mo;
printf("%lld",ans);
return 0;
}
memset(a,0,sizeof(a));
fo(i,0,k-1)
{
fo(j,i,min(i+1,k-1))
a[i][j]=1;
}
a[k-1][0]=1;
n=k-1;mi(k*m);
fo(i,0,n) fo(j,0,n) b[i][j]=a[i][j],a[i][j]=0;
a[0][0]=1;
ch1();
printf("%lld",a[0][r%k]);
}