629. K Inverse Pairs Array

题目：

Given two integers 

n

 and 

k

,
find how many different arrays consist of numbers from 

1

 to 

n

 such
that there are exactly 

k

 inverse pairs.

We define an inverse pair as following: For 

ith

 and 

jth

 element
in the array, if 

i

 < 

j

 and 

a[i]

 > 

a[j]

 then
it's an inverse pair; Otherwise, it's not.

Since the answer may be very large, the answer should be modulo 109 + 7.

大概是求从1到n的各种组合中逆序数为k的个数

大神的做法：

dp
[k+1] = dp
[k]+dp[n-1][k+1]-dp[n-1][k+1-n]

public static int kInversePairs(int n, int k) {
int mod = 1000000007;
if (k > n*(n-1)/2 || k < 0) return 0;
if (k == 0 || k == n*(n-1)/2) return 1;
long[][] dp = new long[n+1][k+1];
dp[2][0] = 1;
dp[2][1] = 1;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= Math.min(k, i*(i-1)/2); j++) {
dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j];
if (j >= i) dp[i][j] -= dp[i-1][j-i];
dp[i][j] = (dp[i][j]+mod) % mod;
}
}
return (int) dp
[k];
}

在LeetCode上这道题已经有解析了，以下说一下自己的理解（大神请略过），自己在思考时，只考虑dp
[k]=d[n-1][k]+d[n-1][k-1]+....+dp[n-1][k-n+1]。然后，按照递归的for循环做，结果提示超时。按大神的思路，出现这种多个多项式相加的情况，我们可以再写另一个dp[n2][k2]使他们相减，然后消去相同的大量多项式。由于大量多项式是在向前n-1个数插入n,凑齐k时出现的，所以可以另n2=n,k2=k+1;然后相减，得到上述的等式。（在利用上述等式，利用嵌套加数组的形式解决时，也提示超时）；

解读： 

dp[i][j]
= (dp[i][j]+mod) % mod;

    因为dp[i][j]-=dp[i-1][j-i],可能为负数，因为他们都是%mod的（如果未模除，前者一定比后者大），所以前者的大小未必比后者大，当前者较小时，我们可以加上mod，再进行模除。