日常训练 20170708 贝加尔湖畔baikal

题面：

  有 N (1≤N≤105) 个村庄, 第 i 个村庄有一个权值 Ai。定义 Bi=A1+A2+.....+Ai。保证 BN=0。

  你需要从任意一个村庄出发,然后遍历任意多个村庄,之后回到出发的村庄。

  我们认为你从村庄 i 到村庄 j 的收益是 (Ai−Aj)×Bi×Bj2×Ai×Aj。

  从起点开始的每个点到下一个点的过程中， 如果 B 值有变化， B 值必须先变大再变小。

  你想要最大化你的总收益。

题解：

   (Ai−Aj)×Bi×Bj2×Ai×Aj=Ai×Bi×Bj2×Ai×Aj−Aj×Bi×Bj2×Ai×Aj=Bi×Bj2×Aj−Bi×Bj2×Ai=12×(Bi×BjAj−Bj×BiAi)

   最后式子是个叉积形式，表示两点与原点的三角形的面积，而且条件保证答案是一个简单环，所以对所有点做一遍凸包计算面积即可。

#include<bits/stdc++.h>
const int N = 1e5 + 10;
const double eps = 1e-7;
template <typename T> void read(T &x) {
x = 0; T f = 1; char c = getchar();
for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f *= -1;
for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
x *= f;
}
struct rec{double x, y;} a
, t
;
bool cmp(const rec &a, const rec &b) {return a.x < b.x;};
rec operator - (const rec &a, const rec &b) {return (rec) {a.x - b.x, a.y - b.y};};
double operator * (const rec &a, const rec &b) {return a.x * b.y - a.y * b.x;};
int n, b
, cnt;
double ans;
int main() {
freopen("baikal.in", "r", stdin);
freopen("baikal.out", "w", stdout);
read(n);
for (int i = 1; i <= n; i++) read(b[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++)
a[i].x = a[i - 1].x + b[i],
a[i].y = a[i].x / b[i];
std::sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
t[++cnt] = a[i];
while (cnt > 2 && (t[cnt] - t[cnt - 2]) * (t[cnt - 1] - t[cnt - 2]) > -eps)
t[cnt - 1] = t[cnt], cnt--;
}
for (int i = 1; i < cnt; i++) ans += t[i] * t[i + 1];
cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
t[++cnt] = a[i];
while (cnt > 2 && (t[cnt] - t[cnt - 2]) * (t[cnt - 1] - t[cnt - 2]) < eps)
t[cnt - 1] = t[cnt], cnt--;
}
for (int i = cnt; i > 1; i--) ans += t[i] * t[i - 1];
printf("%.5f\n", ans / 2);
return 0;
}