【原创】【数论】HDU 2462 The Luckiest number

The Luckiest number

题目描述

description

Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29).

Take X = 1 for an example. The positive integer divisors of 2004^1 are 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002 and 2004. Therefore S = 4704 and S modulo 29 is equal to 6.

Input

The input consists of several test cases. Each test case contains a line with the integer X (1 <= X <= 10000000).

A test case of X = 0 indicates the end of input, and should not be processed.

Output

For each test case, in a separate line, please output the result of S modulo 29.

Sample Input

1

10000

0

Sample Output

6

10

题目大意

给你一个数L，找一个全是8的数来整除它，求这个88…8最少有几个8。

多组数据，以0结束。

题目分析

以下内容为图片：





有一个问题需要注意，我在上面被卡了很久。

先看我的错误程序吧。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long r[1234321],cnt;
long long L,ans,x,k;

long long phi(long long k)
{
long long fly=k;
for(long long i=2;i*i<=k;i++)
if(k%i==0)
{
while(k%i==0) k/=i;
fly=fly/i*(i-1);
}
if(k>1) fly=fly/k*(k-1);
return fly;
}

long long ksm(long long a,long long b,long long c)
{
long long ans=1;
a%=c;
while(b)
{
if(b&1) ans=ans%c*a;
b>>=1; a=a%c*a;
}
return ans;
}

long long gcd(long long a,long long b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}

long long again(long long k)
{
cnt=0;
for(long long i=1;i*i<=k;i++)
if(k%i==0)
{
r[++cnt]=i;
if(i*i!=k) r[++cnt]=k/i;
}
sort(r+1,r+1+cnt);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
if(ksm(10,r[i],x)==1)
return r[i];
return k;
}

int main()
{
int ss=0;
while(cin>>L&&L)
{
printf("Case %d: ",++ss);
if(L%16==0 || L%5==0)
{
printf("0\n");
continue;
}
x=9*L/gcd(8,L);
k=phi(x);
cout<<again(k)<<endl;
}
}

当输入199999999时，几个变量是这样的：

L=1999999999

x=17999999991//（9*L）/gcd(8,L)

k=11612903040//phi(k)

以上都没问题，看最后的结果，

ans=11612903040，这个结果是不对的。

为什么？

那肯定是快速幂的问题了。

long long ksm(long long a,long long b,long long c)
{
long long ans=1;
a%=c;
while(b)
{
if(b&1) ans=ans%c*a;
b>>=1;
a=a%c*a;//←就在这里
}
return ans;
}

就在那里，c是x=17999999991，a模了17999999991，结果必定小于17999999991。一个小于17999999991的数，再平方，结果仍然会爆long long（最多可以爆出三亿亿）。

这就是我WA了一万次的原因。

怎么办呢？

我们只能改乘为加，牺牲时间，换取AC。

详见代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long r[1234321],cnt;
long long L,ans,x,k;

long long phi(long long k)
{
long long fly=k;
for(long long i=2;i*i<=k;i++)
if(k%i==0)
{
while(k%i==0) k/=i;
fly=fly/i*(i-1);
}
if(k>1) fly=fly/k*(k-1);
return fly;
}

long long mul(long long a,long long b)
{
long long ans=0;
while(b)
{
if(b&1) ans=(ans+a)%x;
b>>=1; a=(a<<1)%x;
}
return ans;
}
long long msm(long long a,long long b,long long c)
{
if(b==0) return 1;
if(b==1) return a%c;
long long ans=msm(a,b/2,c)%c;
ans=mul(ans,ans)%c;
if(b%2) ans=mul(ans,a)%c;
return ans%c;
}

long long gcd(long long a,long long b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}

long long again(long long k)
{
cnt=0;
for(long long i=1;i*i<=k;i++)
if(k%i==0)
{
r[++cnt]=i;
if(i*i!=k) r[++cnt]=k/i;
}
sort(r+1,r+1+cnt);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
if(msm(10,r[i],x)==1)
return r[i];
return k;
}

int main()
{
int ss=0;
while(cin>>L&&L)
{
printf("Case %d: ",++ss);
if(L%16==0 || L%5==0)
{
printf("0\n");
continue;
}
x=9*L/gcd(8,L);
k=phi(x);
cout<<again(k)<<endl;
}
}