2301: [HAOI2011]Problem b 莫比乌斯反演+前缀+容斥原理

Description

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

Input

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

Output

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

Sample Input

2

2 5 1 5 1

1 5 1 5 2

Sample Output

14

3

HINT

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

我们先用容斥原理

ans=(1->b,1->d) - (1->(a-1),1->d) - ((1->(c-1),1-b) + (1->(a-1),1->(c-1));

然后每个计算的时间是O(n)，因为数据组数太大了，然后还是要优化。

参考https://wenku.baidu.com/view/fbe263d384254b35eefd34eb.html

用了一个前缀和，求连续的k项，

因为这个题的数据组数特别多，要降低求每组的时间复杂度

每组中我们求

ans=∑i=1dμ(i)∗F[i]

如果我们直接这样求ans的话，一个for循环，就超时了，那怎么求呢，一个一个求不行，那就一段一段求。

F[i]=(n/i)*(m/i); 在某个区间中F的值是相同的，我们就把这个区间一起求。

我们发现d在[i,n/(n/i)]中n/d的值是相同的。

证明：
设 k=n/i,
假如   n/x =k
x最大为n/k
所以x最大为 n/(n/i)

然后就可以一段一段地求了。

woc,用了cout，RE半天。。。。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <map>

using namespace std;
const int maxn = 50010;
int vis[maxn];
int primes[maxn];
int miu[maxn];
#define LL long long
LL sum[maxn];
void mobious()
{
miu[1]=1;
int tot=0;
for(int i=2;i<=50000;i++)
{
if(!vis[i])
{
primes[tot++]=i;
miu[i]=-1;
}
for(int j=0;j<tot;j++)
{
long long k=i*primes[j];
if(k>50000) break;
vis[k]=1;
if(i%primes[j]) miu[k]=-miu[i];
else break;
}
}
sum[1]=1;
for(int i=2;i<=50000;i++)
sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
}
LL solve(int n,int m)
{
if(n>m) swap(n,m);
LL re=0;
int last=0;
for(int i=1;i<=n;i=last+1)
{
last=min(n/(n/i),m/(m/i));
re+=(LL)(n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
}
return re;
}
int main()
{
int n;
mobious();
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
int a,b,c,d,k;
scanf("%d %d %d %d %d",&a,&b,&c,&d,&k);
a=a,b=b/k,d=d/k,c=c;
LL ans=0;
ans=solve(b,d)-solve((a-1)/k,d)-solve((c-1)/k,b)+solve((a-1)/k,(c-1)/k);//注意这里是a-1
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}