硬件三人行，运放基础第3讲听课笔记，电路分析基础（二）

电路分析基础（二）

上一讲中我们学习了时域下电容的IV方程，电容两端电流电压的关系为，也可以叫做电容的欧姆定律。电容两端电流是电压对时间的微分。时域下电感的IV方程， 电感两端电压是电流对时间的微分。要想充分体会接下来的学习内容，就得复习一下微积分的知识。

微积分复习

高中时我们接触到的都是线性量的计算，S=v*t，距离等于速度乘以时间。这种关系叫做线性方程。

微积分实际上是对不是线性的关系进行处理。

当遇到一些非线性的量时，高中的知识就无法解决了，需要用到微积分。微积分其实分两部分，一部分是微分，一部分是积分。

微分——曲线上各点的斜率、速度

积分——曲线下边的面积、求和

f（x）=X2 抛物线

一次微分可以得到这个曲线的极值点，拐点

二次微分可以得到这个曲线的凹凸性，这样这条曲线的大体形状就可以确定了，到底是向上弯曲还是向下弯曲。

这样我们就可以把一些实际的问题数学化，就可以得到一些实际的函数的变化规律。在以后的学习中还会用到微积分来计算电感电容在时域中的一些特性，或者到以后计算一些微分方程。这就是微积分的作用。

微分（倒数公式推导）

其实就是在求极限



这就是x=x0时的微分

极限（数学术语）

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋近的值（极限值）。若要说一个函数的极限存在，必须同时说明它的左右极限存在且相等。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。

常用微分积分公式：





，这个公式的由来，有网友解释说科学家一直在寻找一个函数的导数是函数本身，最后经过一系列的极限运算得到了这个数字e，大约为2.718281828459。

实际上微分和积分就是两个相反的操作。微分是对一个函数求导的过程，积分就是对这个函数的一个逆向的过程。

时域下RC低通滤波器



运用KCL定律和欧姆定律解得输入输出电压的传输函数。如下图（这个过程需要自己仔细推导，实际上用了分离变量的方法求解这个传输函数。微积分部分知识详细了解需要看《高等数学》同济第七版，此公式的进一步学习请看《电路》邱关源第五版）



频域下电容的IV方程



频域中使得电容两端的电压电流关系变得简单多了，类似时域中的欧姆定律。在时域下分析时得到的是微分方程，需要用到微积分的知识来求解这个方程。我们在时域下不用进行微积分计算，只要进行乘除法就能把这个电路算出来，这就是频域的好处。

频域下电感的IV方程



频域下的RC低通滤波器



这个就是在频域下得到的输出输入之间的关系，很明显在频域下得到的这个公式比时域下得到的简单很多，而且计算起来也简单很多。

波特（Bode）图



详细请看下一讲。

总结

写到最后，我个人认为，虽然工作中基本上只要求大家不求甚解，会使用结果就行了。但是对于20出头的年轻人，什么事都不求甚解的话，到最后很难有进步，即使有一点点进步，也是不清楚自己在干什么。这个课程将一些最基本的公式推导写了出来，很值得我们大家学习。

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