BZOJ 4443 小凸玩矩阵 （网络流 dinic 二分）

4443: [Scoi2015]小凸玩矩阵

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Description

小凸和小方是好朋友，小方给小凸一个N*M（N<=M)的矩阵A,要求小秃从其中选出N个数，其中任意两个数字不能在同一行或同一列，现小凸想知道选出来的N个数中第K大的数字的最小值是多少。

Input

第一行给出三个整数N,M,K

接下来N行，每行M个数字，用来描述这个矩阵

Output

如题

Sample Input

3 4 2

1 5 6 6

8 3 4 3

6 8 6 3

Sample Output

3

HINT

1<=K<=N<=M<=250,1<=矩阵元素<=10^9

思路：

首先第k大的意思是从大到小的第k个数。

二分答案的单调性在于,如果不能选出n-k+1个小于等于i的不同行列的数,那么最终的答案大于i,否则最终的答案小于等于i。

判定的时候将每一行看作一个点,每一列也看作一个点,（这种二维矩阵每一行,每一列有限定的题常常可以转化成二分图去考虑。）为了区分行列，我们统一将列加上一个n。不能同行同列，每一个行只能对应一个列，一组行列相连，代表选择了一个点。为保证不同行同列，所以每个点只能经过一次，流量限度为1.

连边(S,i,1),(i+n,T,1)，对于格子(i,j)如果它的数<=x连边(i,j+n,1)让这个点变成可选择状态。

然后二分出一个mid,使得我们可以选出n-k+1个小于等于mid的数但不能选出n-k+1个小于等于(i-1)的数,这个i就是答案.

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define maxn 600
#define maxm 300000
#define inf /*1000000000*/0x7fffffff/3

using namespace std;

int head[maxn],q[maxn],dis[maxn],last[maxn];//last->当前弧优化
int a[maxn][maxn];
int n,m,k,idc,s,t,ans,mx;

struct Edge{
int to, next, w;
}ed[maxm];

void adde(int u, int v, int w){
ed[++idc].to = v;
ed[idc].w = w;
ed[idc].next = head[u];
last[u]= head[u] = idc;
}

bool bfs(){
memset(dis, -1, sizeof(dis));
int l=0, r=1;
q[1]=s; dis[s]=0;
while(l < r){
int u = q[++l];
for(int k=head[u]; k; k=ed[k].next) {
int v = ed[k].to;
if(ed[k].w && dis[v] == -1){
dis[v] = dis[u] + 1;
q[++r] = v;
if(v == t) break;//到达
}
}
}
for(int i=s; i<=t; i++){//i=s~t
last[i] = head[i];
}
return dis[t] != -1;//能否到达
}

int find(int u, int low){
if (u==t || low==0) return low;
int totflow = 0;
for(int k=last[u]; k; last[u]=k=ed[k].next){//当前弧优化
int v = ed[k].to;
if(ed[k].w && dis[v] == dis[u] + 1){
int f = find(v, min(low,ed[k].w));
ed[k].w -= f; ed[k^1].w += f;
totflow += f; low -= f;
//if(ed[k].w) last[u]=k;
if(low == 0) return totflow;//满流
}
}
if( !totflow ) dis[u] = -1;//满流
return totflow;
}

void Dinic(){
ans = 0;
while (bfs()) ans += find(s, inf);
}

bool check(int x){
memset(head, 0, sizeof(head));
memset(last, 0, sizeof(last));
memset(q, 0, sizeof(q));
memset(ed, 0, sizeof(ed));
idc = 1;//方便处理反向边
for(int i=1; i<=n; i++) adde(s, i, 1), adde(i, s, 0);
for(int i=1; i<=m; i++) adde(i+n, t, 1), adde(t, i+n, 0);
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
if(a[i][j] <= x) adde(i, j+n, 1), adde(j+n, i, 0);
Dinic();
if (ans >= n-k+1) return 1;
else return 0;
}

int main(){
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
s=0; t=n+m+1;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++){
scanf("%d", &a[i][j]);
mx = max(mx, a[i][j]);
}
int l = 0, r = mx;
while(l < r){
int mid = (l + r) >> 1;
if ( check(mid) ) r = mid;
else l = mid + 1;
}
printf("%d", l);
return 0;
}