浅谈莫队 BZOJ 2038 小Z的袜子 (莫队 分块)
2017-07-06 11:46
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2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)
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作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……
具体来说,小Z把这N只袜子从1到N编号,然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。
Input
输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量,M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci,其中Ci表示第i只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行,每行两个正整数L,R表示一个询问。
Output
包含M行,对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1,否则输出的A/B必须为最简分数。(详见样例)
Sample Input
6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6
Sample Output
2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。
询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。
注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000;
60%的数据中 N,M ≤ 25000;
100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。
思路:
没有办法找到区间合并的方法,只好暴力了,这里用莫队算法。
如果我们已知[l,r]的答案,就能在O(1)时间得到[l+1,r]的答案以及[l,r-1]的答案,所以如果已知[l,r]的答案,要求[l’,r’]的答案,我们可以通过|l – l’|+|r – r’|次转移内求得。因为转移时修改组合数不太方便,所以我们考虑维护出平方和,最后把多的减掉。(代码中有解释)
我们考虑分块,将n个数分成sqrt(n)块。
按区间排序,以左端点所在块内为第一关键字,右端点为第二关键字,进行排序,也就是以(pos [l],r)排序
然后按这个排序直接暴力,复杂度分析是这样的:
1、i与i+1在同一块内,r单调递增,所以r是O(n)的。由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5。
2、i与i+1跨越一块,r最多变化n,由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5
3、i与i+1在同一块内时l变化不超过n^0.5,跨越一块也不会超过n^0.5,忽略*2。由于有m次询问(和n同级),所以时间复杂度是n^1.5
于是就是O(n^1.5)了
很多人不理解看起来还是很暴力呀,为什么会快一些呢?我们感性地分析一下,如果是单纯的暴力,我们考虑用l排序,那么糟糕的就是虽然l的移动不会太多,但是r有可能反复地来回跑,eg:1 6, 2 1, 3 6, 4 1……这样就上升到平方级别了,我们采用分块的话,总的来讲思路是一样的,不过在同一个块中时,变成了r单调而l可能来回跑,但是跟上面情况不同的是,它来回跑的范围从n变成了sqrt(n)。
那么为什么分块要取sqrt(n)呢?我们容易发现,n太小的话,在同一块中被优化的部分就会变少,n太大的话,块的个数就多了,在同一块中l来回的距离就会变大,优化的力度就不够了。只有当取sqrt(n)时,块的个数与大小都是sqrt(n),这样才是最优的。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #define N 50010 #define LL long long using namespace std; int n, m, pos , col ; LL cnt , ans; LL gcd(LL a, LL b){ return b==0 ? a : gcd(b, a%b); } LL sqr(LL x){return x*x;} struct data{ int l, r, id; LL a, b;//答案 }a ; bool cmp(data a, data b){//块中按r排序 if(pos[a.l] == pos[b.l]) return a.r < b.r; return a.l < b.l;//其余按l排序 } bool recmp(data a, data b){ return a.id < b.id; } void update(int p, int add){ ans -= sqr(cnt[col[p]]); cnt[col[p]] += add; ans += sqr(cnt[col[p]]); //对于每种颜色我们计算的都是x^2(其实要算x*(x-1)) //也就是说每种颜色我们都多计算了它的个数x //总的看来我们就多加了区间内所有颜色的个数,也就是区间内数的个数(区间长度) } void solve(){ for(int i=1,l=1,r=0; i<=m; i++){ for( ; r<a[i].r; r++)//按照要求暴力找 update(r+1, 1); for( ; r>a[i].r; r--) update(r, -1); for( ; l<a[i].l; l++) update(l, -1); for( ; l>a[i].l; l--) update(l-1, 1); if(a[i].l == a[i].r){//特判 a[i].a = 0; a[i].b = 1; continue; } a[i].a = ans - (a[i].r-a[i].l+1); a[i].b = (LL)(a[i].r-a[i].l+1) * (a[i].r-a[i].l);//组合数 LL k = gcd(a[i].a, a[i].b);//化简 a[i].a /= k; a[i].b /= k; } } int main(){ scanf("%d%d", &n, &m); for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &col[i]); int block = int(sqrt(n)); for(int i=1; i<=n; i++) pos[i] = (i-1) / block + 1;//把点放到块中 for(int i=1; i<=m; i++){ scanf("%d%d", &a[i].l, &a[i].r); a[i].id = i; } sort(a+1, a+m+1, cmp); solve(); sort(a+1, a+m+1, recmp); for(int i=1; i<=m; i++) printf("%lld/%lld\n", a[i].a, a[i].b); return 0; }
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