51nod 1222 最小公倍数计数

题目大意：

求有多少个二元组[x,y]满足a<=lcm(x, y)<=b且x<=y。

1<=a<=b<=1011

题解：

先不考虑x<=y的情况，求出答案以后加上(b - a + 1)再除以2即可。

要满足a<=lcm(x,y)<=b,可以先求出1 ~ a - 1, 1 ~ b的，再相减。

由于我很弱，所以我一步一步来：

Ans=∑ni=1∑nj=1[lcm(i,j)<=n]

=∑ni=1∑nj=1[i∗j/gcd(i,j)<=n]

=∑nd=1∑ni=1∑nj=1[i∗j∗d<=n]∗[gcd(i,j)=1]

设f(x)=∑ni=1∑nj=1[i∗j∗d<=n]∗[gcd(i,j)=x]

g(x)=∑n/xi=1f(i∗x)

这里是f(1)

f(1)=∑nd′=1μ(d′)∗g(d′)

=∑nd′=1μ(d′)∗∑ni′=1∑nj′=1[d∗d′2∗i′∗j′<=n]

上面这个转换有点难理解。在这里d’相当于原来i,j的最大公约数,所以是d′2

Ans=∑nd=1∑nd′=1μ(d′)∗∑ni′=1∑nj′=1[d∗d′2∗i′∗j′<=n]

=∑nd′=1μ(d′)∗∑nd=1∑ni=1∑nj=1[d′2∗d∗i∗j<=n]

缩小范围：

=∑n√d′=1μ(d′)∗∑nd=1∑ni=1∑nj=1[d′2∗d∗i∗j<=n]

我们可以强行使d<=i<=j，这样的复杂度用微积分证明是O(n2/3)

那么求出三个都相同的个数，有两个相同的个数，三个都不同的个数，乘上对应的组合数，就是没有顺序的方案数了。

感谢老曹对中间反演过程指点。

Code：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define ll long long

const int Maxn = 320000;

bool bz[Maxn + 1]; int mu[Maxn + 1], p[Maxn];
ll a, b;

ll calc(ll n) {
ll s = 0;
for(ll a = 1; a * a * a <= n; a ++) {
for(ll b = a; a * b * b <= n; b ++) {
s += (n / a / b - b + 1) * 6;
if(a == b)
s -= (n / a / b - b) * 3; else
s -= 3;
}
s -= 5;
}
return s;
}

ll get_ans(ll n) {
if(!n) return 0;
ll s = 0;
fo(i, 1, sqrt(n))
if(mu[i])
s += mu[i] * calc(n / i / i);
return (s + n) / 2;
}

int main() {
mu[1] = 1;
fo(i, 2, Maxn) {
if(!bz[i]) p[++ p[0]] = i, mu[i] = -1;
fo(j, 1, p[0]) {
int k = i * p[j];
if(k > Maxn) break;
bz[k] = 1;
if(i % p[j] == 0) {
mu[k] = 0; break;
}
mu[k] = -mu[i];
}
}
scanf("%lld %lld", &a, &b);
printf("%lld\n", get_ans(b) - get_ans(a - 1));
}