LightOJ - 1336 Sigma Function （n以内约数和为奇数（偶数）的数的个数）

Sigma function is an interesting function in Number Theory. It is denoted by the Greek letter Sigma (σ). This function actually denotes the sum of all divisors of a number. For example σ(24) = 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Sigma of small numbers is easy to find
but for large numbers it is very difficult to find in a straight forward way. But mathematicians have discovered a formula to find sigma. If the prime power decomposition of an integer is



Then we can write,



For some n the value of σ(n) is odd and for others it is even. Given a value
n, you will have to find how many integers from 1 to
n have even value of σ.

Input
Input starts with an integer T (≤ 100), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 1012).

Output
For each case, print the case number and the result.

Sample Input
4

3

10

100

1000

Sample Output
Case 1: 1

Case 2: 5

Case 3: 83

Case 4: 947

这里n很大不能直接暴力的

关于sigma(n)的式子有个想法是这样的：sigma(n)=(1+q1+...+q1^e1)*(1+q2+...+q2^e2)*....*(1+qn+...+qn^en)

很显然当q[i]不为2的时候，当e[i]为奇数时括号内的和为偶数，e[i]为偶数时括号内的和为奇数，

当q[i]==2时，括号内的和必为奇数；

这个题到这一步我都想到了，但接下来的我就GG了....

这个题直接求偶数的个数的话就是直接求存在q[i]不为2且e[i]为奇数的数的个数，但这个我想了很久觉得好像没什么办法可以求出来(可能是因为我很菜吧)

那么可以反着来：求sigma为奇数的个数，然后减一减

当sigma为奇数的时候，必有：q[i]不为2的项的e[i]全部为偶数

于是sigma(s)为奇数的时候，s可以以两种方法得到：s=a^2，s=2*b^2；

（不管a原来的sigma是怎么样的，a^2一定是“所有的e[i]都为偶数，使得任意括号内的和都为奇数，从而a^2为奇数”）

（b也与a一样，但是a的2的次数一定也是偶数，然而sigma为奇数的数中，2的次数是可奇可偶的，所以有乘以2）

然后s还要满足s<=n，

于是a的个数，b的个数分别为sqrt(n),sqrt(n/2)，所以sigma为奇数的数的个数为sqrt(n)+sqrt(n/2)....然后减一减

（呜哇~做过一遍的题还不会做，感觉好伤）

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=2e5+3;
LL n;

int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
int cas=0;
while(T--)
{
scanf("%lld",&n);
printf("Case %d: %lld\n",++cas,n-(LL)sqrt(n)-(LL)sqrt(n/2));
}
return 0;
}
大概就是这样，如有错误，还望指正