NP完全问题 课后习题

8.8 题原文：

In the EXACT 4 SAT problem, the input is a set of clauses, each of which is a disjunction of exactly four literals, and such that each variable occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. Prove that EXACT
4 SAT is NP-complete.

题意解读：

在真正的4SAT(EXACT 4SAT)问题中，输入一组字句，每个子句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值，假设该赋值存在。证明精确的4SAT问题是NP完全问题。

证明：

已知EXACT 4SAT属于NP，通过将3SAT归约到EXACT 4SAT可以证明后者是NP完全问题。

并且EXACT 4SAT的解是可以在多项式时间内验证的，属于NP问题。

对于任意一个3SAT 实例，如果其中某个子句中包含了同一个文字多次，那么可以缩减为一次，如果同时包含了某个变量的肯定及否定，那么可以去掉这个变量。

再在每个子句中可以添加一些没用的辅助变量，这样就可以将每个子句所包含的文字数目扩充到四个。最后，该3SAT实例已转化成了一个EXACT 4SAT问题。