2017西安交大ACM小学期数论 [完全平方数]

完全平方数

发布时间: 2017年6月24日 17:01   最后更新: 2017年7月3日 09:27   时间限制: 1000ms   内存限制: 128M

描述

给定正整数b，求最大的整数a，使a(a+b)是完全平方数。

输入
多组测试数据（不超过10000组）。

每组数据一个正整数b,b≤109。

输出
对每组数据输出一行一个整数a，表示答案。

样例输入1

1
3
5

样例输出1

0
1
4

这道题目，代码很短，重点在思维上面。
我们这样考虑，设a = kt^2，且k是素数

那么a(a+b) = kt^2(kt^2 + b)是完全平方数

相当于k(kt^2 + b)是完全平方数

由于完全平方数中包含素数k，则k的次数必为偶数次

那么k^2 | k(kt^2 + b)

也就是说k | b

设b = ke

那么等价转化到k^2(t^2+e)是完全平方数

相当于t^2 + e是完全平方数

考虑e的取值

e = 2t + 1的时候，t^2 + e是完全平方数

e = 4t + 4的时候，t^2 + e是完全平方数

要使得a = kt^2越大，直觉上认为t一定要越大

所以说，如果n为奇数的情况下t = (e-1)/2 = (n-1)/2; k = 1;这样最好

如果n为偶数的话，如果n/2为奇数的话，那么k = 2;t = (n/2-1)/2;这样最好

而如果n为偶数，n/2仍然为偶数的话，那么k = 1;e = (n-4)/4  这样最好

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAX = 1e9;
LL n;
int main(){
while(~scanf("%lld",&n)){
LL ans;
if(n % 2){
//奇数
LL t = (n-1)/2;
ans = t*t;
}
else if(n%4 == 0){
LL t = (n-4)/4;
ans = t*t;
}
else{
LL t = (n/2-1)/2;
ans =  t*t*2;
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}