Euler Project 29

Distinct powers

Problem 29

Consider all integer combinations of ab for 2 ≤ a ≤ 5 and 2 ≤ b ≤ 5:

22=4, 23=8, 24=16, 25=32

32=9, 33=27, 34=81, 35=243

42=16, 43=64, 44=256, 45=1024

52=25, 53=125, 54=625, 55=3125

If they are then placed in numerical order, with any repeats removed, we get the following sequence of 15 distinct terms:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

How many distinct terms are in the sequence generated by ab for 2 ≤ a ≤ 100 and 2 ≤ b ≤ 100?

Answer:

9183

Completed on Tue, 4 Jul 2017, 15:11

本来自己Python大数+set水过，然后看到网上的神python代码，人生苦短，快用Python啊··：

import itertools  #
print len(set(a**b for a,b in itertools.product(xrange(2,11), repeat=2)))

接下来C的思路,时间O(nlogn),空间O(n):

听了二璇妹妹一番话决定要好好写博客了，，，，，所以注释详细点，，，

思路：只考虑那些最小底数他们会产生哪些幂次，比如2，首先2本身会有2^2~2^100（99个）,然后4（其实我们把他看成2^2次方)，那么会新增哪些2的幂次呢？显然（2，4，6·······200）新增的有50个，接下来又考虑2^3,2^4,,,2^log2(100）这些数。

接下来我们发现3，9，27，其实规律是一样的，3本身也是3^2~3^100(99个），然后9，又会新增50个，所以我先给打个表，，，具体看代码吧。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define MAXN 100

bool vis[MAXN+10];   //标记数组，是否已经访问过
int cnt[MAXN+10];    //计数，最小底数的k次方可以增加多少个新的数
void Init_cnt()      //预处理一下cnt数组
{
set<int> st;                 //一个集合，里面是最小底数可能出现的幂
for(int i=2;i<=MAXN;i++)     //先将最小底数一次幂都放集合里
st.insert(i);
cnt[1]=st.size();            //比如我们只考虑2这个最小底数可能出现的幂,那么2本身就有2^2~2^100,
for(int i=2;powl(2,i)<=MAXN;i++)       //接下来对于(2^2),(2^3)....(2^log2(MAXN))又会重复幂运算，但是都可以把他们看成最小底数的新的幂次，而且对于不同的最小底数都是一样的
{
int last_st=st.size();
for(int j=i+i,t=1;t<MAXN;t++,j+=i) //对于当前这个由最小底数产生的数，比如2，会得到4，8，16,,,统计他们实际上是2的多少次幂
{
st.insert(j);
}
cnt[i]=st.size()-last_st;  //假如最小底数的i次方小于MAXN(本题中100)那么就加上cnt[i]
}
}
int main()
{
Init_cnt();
memset(vis,0,sizeof(vis)); //初始化一下标记数组
int ans=0;
for(int i=2;i<=MAXN;i++)
{
if(vis[i]) continue; //如果已经被标记了，跳过
ans+=cnt[1];         //对于当前没有continue的i，他就是最小底数，那么统计他可能出现的幂次比如2,首先本身2^2~2^100（99）要加上
for(int j=2;powl(i,j)<=MAXN;j++)  //然后2^2，2^3,,在之前init()中已经统计好了，只要2^j是小于100的就加上
{
ans+=cnt[j];
vis[(int)powl(i,j)]=1;
}
}
cout<<ans<<endl;
}