BZOJ 1087 浅谈状态压缩动态规划的转移

世界真的很大

动态规划有很多状态压缩的动态规划也算是一大类了

这类题的特征是数据规模小，状态复杂，dp转移巨艰难

而且状态一般可以归类为许多个“是”或“不是”的集合

于是我们想到可以用2进制01串来表示状态的集合

把状态集合的01串定义为一个数，成为dp方程的某一维

dp的转移就考虑状态与状态之间的关系。

我发现我还没写过动态规划的博客

那是因为

真的不会啊！！！！

今天我自己yy了很久，yy出来了这道值得分享的状态压缩动态规划

真的很高兴23333333

先看一下题吧：

description

　在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上
左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

input

　只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

output

方案数。

状态压缩无误（n< =9 )

因为01串是一排的，所以考虑按行转移

考虑需要维护的状态 “行数，国王数，每行的状态”

所以定义dp方程：f[i][j][k]

i表示当前行，j表示当前行状态的01串（0表示没放，1表示放了），k表示到当前行为止一共放了多少个国王

状态转移，枚举上一行的状态就行了

但是每次还有合法性的判断。

比如一行的一个位置放了国王，同行与他相邻的位置就不能放。记录同行合法的状态cre[i]数组，i表示当前行的状态

比如一行的一个位置放了国王，相邻两行的3个位置也不能放，用数组rec[i][j] 记录i，j状态的两行放在一起是否合法

顺便cnt[i]记录i状态这一行下有多少个国王

初始状态f[1][i][cnt[i]]=1

可以暴力枚举以预处理

完整代码：

#include<stdio.h>
typedef long long dnt;

dnt ans=0;
dnt f[10][1010][100];
int n,K,ste;
int cre[100010],rec[1010][1010],cnt[1010];

bool check(int state,int rstate)
{
if( (state&rstate)|| (state&(rstate>>1)) || (state&(rstate<<1)))
return 0;
return 1;
}

void init()
{
for(int i=0;i<=ste;i++)
if(!(i&(i>>1)))
{
int tmp=0;
for(int j=i;j;j>>=1) if(j&1) tmp++;
cnt[i]=tmp;
cre[i]=1;
}
for(int i=0;i<=ste;i++)
if(cre[i])
for(int j=0;j<=ste;j++)
if(cre[j])
rec[i][j]=check(i,j);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&K);
ste=(1<<n)-1;
init();
for(int i=0;i<=ste;i++)
if(cre[i]) f[1][i][cnt[i]]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=ste;j++)
{
if(!cre[j]) continue ;
for(int k=0;k<=ste;k++)
if(cre[k]&&rec[j][k])
for(int p=cnt[k];p<=K-cnt[j];p++)
f[i][j][p+cnt[j]]+=f[i-1][k][p];
}
for(int i=0;i<=ste;i++) ans+=f
[i][K];
printf("%lld",ans);
return 0;
}

嗯，就是这样