求单调递增最长子序列 动态规划法（DP）

单调递增最长子序列



基本思想

动态规划法重要的是确定状态与状态转移方程

状态是局部环境下得到的局部解，后项的答案由前面的更小的项决定，前面的更小的项又由更小更小的项决定，直到到达一个边界，这称之为状态转移.如给出一个数组a[11]：

如给出一个数组a[11]：



设状态为当前的最长递增子序列，用F[]数组记录，则dp[0]=1;



a[1]>a[0],dp[1]=dp[0]+1=2；a[2]>a[3],dp[2]=dp[1]+1=3;直到dp[5]=dp[4]+1=6;

重点：那么dp[6]应该从哪里得来？a[6]=11，找到a[i]<a[6]有i={0,1}而dp[0]=1,dp[1]=2;则dp[6]=max{dp[0],dp[1]}+1=dp[1]+1=3;接下来的变化：



从上面的分析中找到规律，即dp[i]的值是前面所有小于a[i]的数组的dp[i]的最大值+1；

*此步骤代码如下：

dp[0]=1;
for(i=1;i<N;i++){
int max=-1;
for(w=0;w<i;w++)if(a[w]<a[i]&&dp[w]>max)max=dp[w];
dp[i]=max+1;
}

得到状态转移方程：

最后遍历dp[]数组，其最大值即为最长子序列长度；

完整代码：(fond函数为后面的思考答案，与题目无关)
#include<cstring>
#include<cstdio>
const int M=100000;
int a[M],dp[M],L[M];

void found(int max,int N){ int q,w,i=N-1; for(q=max;q>=1;q--){ for(w=i;w>=0;w--){ if(dp[w]==q){ printf("%d ",a[w]); break; } i=w-1; } } }

int main(){
int N;
while(scanf("%d",&N)!=EOF){
int i,w;
for(i=0;i<N;i++)scanf("%d",&a[i]);
dp[0]=1; for(i=1;i<N;i++){ int max=-1; for(w=0;w<i;w++)if(a[w]<a[i]&&dp[w]>max)max=dp[w]; dp[i]=max+1; }
int max=-1;
for(i=0;i<N;i++)if(dp[i]>max)max=dp[i];
printf("%d\n",max);
found(max,N);
}
}

思考：

题目只是要求最长的长度，如果要你输出最长的最序列呢？

给出代码：

void found(int max,int N){
int q,w,i=N-1;
for(q=max;q>=1;q--){
for(w=i;w>=0;w--){
if(dp[w]==q){
printf("%d ",a[w]);
break;
}
i=w-1;
}
}
}

//大一菜鸟一枚，如有错误还望指正