bzoj1009-GT考试
2017-07-03 15:15
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给出一个长度为\(m(m\le 20)\)的字符串\(s\),问有多少个长度为\(n\)的字符串满足其中不包含子串\(s\)。\(0\le char\le 9,\ n\le 10^9\)。
如果我们一位一位地看这个问题,它会变得简单很多。每次我们往已有的字符串的后面添加一个字符,然后看看匹配情况如何,去掉匹配到的那些。这个dp有点像什么选出一些数使得它们的和不能被某个数整除。
注意到这个转移矩阵每次都是相同的,所以这是一个常系数线性递推,可以用矩阵乘法优化。
这题主要是要想到一位一位处理这个问题,进行转移。kmp只是一个辅助的工具,其实这里的\(m\)很小,不必要使用kmp,但是它好写呀!
思路
一开始想的是容斥。如果我们一位一位地看这个问题,它会变得简单很多。每次我们往已有的字符串的后面添加一个字符,然后看看匹配情况如何,去掉匹配到的那些。这个dp有点像什么选出一些数使得它们的和不能被某个数整除。
f[i][j]表示所有长度为\(i\)的字符串的后缀与\(s\)的前\(i\)位匹配的个数。这样我们就可以预处理一个转移矩阵
a[i][j],表示从匹配了\(i\)个的位置加一个字符\(j\)会匹配到哪里。这个转移矩阵可以用kmp处理出来。
注意到这个转移矩阵每次都是相同的,所以这是一个常系数线性递推,可以用矩阵乘法优化。
这题主要是要想到一位一位处理这个问题,进行转移。kmp只是一个辅助的工具,其实这里的\(m\)很小,不必要使用kmp,但是它好写呀!
代码
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int maxm=25; int n,m,q,nxt[maxm],aux[maxm][maxm],t[maxm]; char s[maxm]; struct Mat { int a[maxm][maxm]; inline void clear() {memset(a,0,sizeof a);} Mat () {clear();} inline int* operator [] (const int x) {return a[x];} inline void operator = (const Mat &b) { for (int i=0;i<m;++i) for (int j=0;j<m;++j) a[i][j]=b.a[i][j]; } inline void eye() {for (int i=0;i<m;++i) a[i][i]=1;} } a,b; Mat operator * (Mat a,Mat b) { Mat ret; for (int k=0;k<m;++k) for (int i=0;i<m;++i) for (int j=0;j<m;++j) (ret[i][j]+=a[i][k]*b[k][j])%=q; return ret; } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("test.in","r",stdin); #endif scanf("%d%d%d%s",&n,&m,&q,s+1); for (int i=1;i<=m;++i) t[i]=s[i]-'0'; for (int j=nxt[1]=0,i=2;i<=m;++i) { for (;j && s[j+1]!=s[i];j=nxt[j]); nxt[i]=(j+=(s[j+1]==s[i])); } for (int i=0;i<m;++i) for (int j=0;j<10;++j) { int k=i; for (;k && t[k+1]!=j;k=nxt[k]); k+=(t[k+1]==j); if (k<m) ++a[i][k]; } b.eye(); for (;n;n>>=1,a=a*a) if (n&1) b=b*a; int ans=0; for (int i=0;i<m;++i) (ans+=b[0][i])%=q; printf("%d\n",ans); return 0; }
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