算法设计课作业证明题

题目：8.15

题目描述：证明求两个图的最大公共子图是NP完全问题。

证明：

最大公共子图问题是给定两个图，要求去掉一些点后，两个图都得到一个节点数至少为b的子图，且两个子图完全相同。

首先假设最大公共子图存在且给出了子图的顶点是哪几个，那么可以在多项式时间内检验出这个解是否正确，所以最大公共子图问题是NP问题，接下来只需要证明它是NP难的，就可以证明它是NP完全问题。

我们已经知道求图的具有b个顶点的独立集的问题是一个NP完全问题，只要我们可以从求独立集的问题规约到求最大公共子图的问题，就可以证明最大公共子图问题也是NP难的。

求G1的顶点数至少为b的独立集的问题可以规约到上述的最大公共子图问题，具体证明如下：

首先我们给定两个图G1=（V，E），G2=（V，∅），其中两个图的顶点集是相同的，但是第二个图的边集为空，我们求这两个图的节点数至少为b的最大公共子图。规约的证明如下：

（1）如果上述两个图存在节点数为b的最大公共子图，那么这b个节点就是图的独立集。利用反证法，假如这b个节点不是独立集，也就是说其中两个节点有边相连，那么在G1的子图中这两点之间必然有边相连，但是G2中边集为空，也就是说这两点没有边相连，与它们是公共子图矛盾，所以只要上述两个图存在节点数为b的最大公共子图，那么这b个节点就是图的独立集。

（2）如果G1有节点数为b的独立集，那么只要G1和G2都只取这b个点作为它们的子图，由于G1中各个点之间都没有边相连，否则它们就不是独立集，而G2中本来边集就为空，所以两个子图都只要b个点而没有边，显然这两个子图是完全相同的，也就是说这两个图也有节点数为b的公共子图。

从上述证明可以知道，求图的独立集问题是可以规约到求最大公共子图问题上的，所以最大公共子图问题也是NP完全问题。