NOIP2012普及组 T3 摆花（加强版）

【题目大意】

用 n 种花摆共 m 盆花，每盆仅能摆一种花，不分每种花、每盆花的顺序，第 i 种花可以不摆，最多摆 ai 盆，求方案数。

【输入格式】

共 2 行。第一行包含两个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开。第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 a1、a2、……an 。

【输出格式】

一个整数，方案数对1000007取模的结果。

【数据范围】

对于10%的数据， 0<n,m≤50，0≤ai≤50

对于30％的数据， 0<n,m≤100，0≤ai≤100

对于60％的数据，0<n,m≤2333，0≤ai≤2333

对于100％的数据，0<n,m≤8848，0≤ai≤8848

〇、网上说法的一些问题

加了一些特别大的数据是因为网上大部分做法都是O(nm2)，没法对付n, m上千的情况。本题有时间O(nm)，空间O(n+2m)的做法。

网上说O(nm2)是背包的，是因为

对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。

对于这类改变问法的问题，一般只需将状态转移方程中的 max 改成 sum 即可。——《背包九讲》

不过，严格来说这不能算是背包，叫递推可能好点儿，因为动态规划专指解决最优化问题（求最大\小\快\慢）。当然分析时以及递推式与背包很像。

一、10％，时间O(n2m2)，空间O(nm)

最初想的时候把状态搞复杂了……用fi,j表示用前 i 种花摆前 j 盆时用第 i 种花摆第 j 盆，则可得递推式

fi,j=∑k=0i−1∑l=j−aij−1fk,l

也就是用前0~i-1种花摆j-ai盆时用第i-1种花摆第j-ai盆（则第 i 种花摆ai盆）的方案数，加上用前0~i-1种花摆j-ai+1盆时用第i-1种花摆第j-ai+1盆（第 i 种花摆ai-1盆）的方案数，一直到用前0~i-1种花摆j-1盆时用第i-1种花摆第j-1盆的方案数。

另外，在上面的递推式中，如果j<ai，递推式变为

fi,j=∑k=0i−1∑l=0j−1fk,l

边界条件，f0,0=1，结果是fi,j=∑ni=1fi,m

f[0][0] = 1;
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= m; j++)
for (k = 0; k < i; k++)
for (l = max(0, j - a[i]); l < j; l++)
(f[i][j] += f[k][l]) %= mod;
for (i = 1; i <= n; i++)
(ans += f[i][m]) %= mod;

虽说这方法很low但是我最早是通过这个方法推出O(nm)的方法的嗯。

二、30％，时间O(nm2)，空间O(nm)

如果fi,j只是表示用前 i 种花摆前 j 盆（不一定要用第 i 种花），递推式便缩减成

fi,j=∑k=j−aij−1fi−1,k

也就是（当第 i 种花摆ai盆时）用前i-1种花摆j-ai盆的方案数，加上（当第 i 种花摆ai-1盆时）用前i-1种花摆j-ai+1盆的方案数，一直到（当第 i 种花只摆1盆时）用前i-1种花摆j-1盆的方案数。

边界变为fi,0=1，结果是fi,j。

for (i = 0; i <= n; i++)
f[i][0] = 1;
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= m; j++)
for (k = max(0, j-a[i]); k < j; k++)
(f[i][j] += f[i - 1][k]) %= mod;
ans = f
[m];

三、60％，时间O(nm)，空间O(nm)

推出这种方法的思路，一种是O(n2m2)的方法加二维前缀和。

在一维情况下，例如求f3到f8之和。用sumx表示∑xi=0fi，很明显f3到f8之和=sum8−sum2。

f	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

推广到二维情况，用sumx,y表示∑xi=0∑yj=0fi,j，如求f1,2到f4,5的和（蓝色区域）。



很明显，蓝色部分的和=图中整个区域-橙色区域-绿色区域+屎黄色区域=sum4,5−sum4,1−sum0,5+sum0,1。

不过这题的前缀和倒简单一点。当j<ai时，fi,j=∑k=0i−1∑l=0j−1fk,l=sumi−1,j−1

而当j≥ai时

fi,j=∑k=0i−1∑l=j−aij−1fk,l注意到k是从0开始的，因此只要把 l 这层拆开。

fi,j=∑k=0i−1∑l=0j−1fk,l−∑k=0i−1∑l=0j−ai−1fk,l=sumi−1,j−1−sumi−1,j−ai−1



也就是fi,j等于整个蓝色区域减去浅蓝色区域（不要在意为什么图片的字体不同）。

还有一点是更新sum数组。



如图，sum6,5=sum4,6+sum5,5−sum4,5+f6,5。sum6,5等于f6,5和f6,5的左方和上方的所有数之和。用前缀和的思想，f6,5的左方和上方的所有数一部分是sum4,6，另一部分是sum5,5，而重叠的部分是sum4,5。

所以sumi,j=sumi−1,j+sumi,j−1−sumi−1,j−1+fi,j

当j<ai时，sumi,j=sumi−1,j+sumi,j−1−sumi−1,j−1+sumi−1,j−1=sumi−1,j+sumi,j−1

当j≥ai时，sumi,j=sumi−1,j+sumi,j−1−sumi−1,j−1+sumi−1,j−1−sumi−1,j−ai−1=sumi−1,j+sumi,j−1−sumi−1,j−ai−1

这样就可以吃掉 f 数组了。

由于是从O(n2m2)的方法推出来，所以sum0,0=f0,0=1，由于是前缀和，同理要把sumi,0与sum0,i都清成1。

sum[0][0] = 1;
for (i = 1; i <= n; i++)
sum[i][0] = 1;
for (i = 1; i <= m; i++)
sum[0][i] = 1;
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= m; j++)
if (a[i] <= j)
sum[i][j] = (sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1]) % mod;
else
sum[i][j] = (sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - a[i] - 1] + mod) % mod;
ans = (sum
[m] - sum
[m - 1] + mod) % mod;

绕了一大圈，我倒发现这个递推式本不用这么复杂的推导。用sumi,j表示用前 i 种花摆前0~j盆花（不摆花+只摆第1盆花+摆前2盆花+…+摆前j盆花）的方案数。不用第 i 种花摆第 j 盆的方案数为sumi−1,j。用第 i 种花摆第 j 盆的方案数为sumi,j−1，但当j≥ai时，还要减去用前 i-1 种花摆前0~j-ai-1盆花的方案数（因为前提是用第 i 种花摆第 j 盆，当用前 i-1 种花摆前 j-ai-1盆花时，就要摆第 i 种花ai+1盆；当用前 i-1 种花摆前 j-ai-2盆花时，就要摆第 i 种花ai+2盆，以此类推）。

四、100％，时间O(nm)，空间O(n+2m)

呼我为什么要把那种复杂的分析方法写上……

在这个数据范围下时间复杂度是可以承受的，但空间炸了。可以注意到无论是sumi,j=sumi−1,j+sumi,j−1还是sumi,j=sumi−1,j+sumi,j−1−sumi−1,j−ai−1的 i 那层只有 i 和 i-1两种情况，所以用滚动数组可以解决空间问题。

sum[0][0] = sum[1][0] = 1;
for (i = 1; i <= m; i++)
sum[0][i] = 1;
bool t;
for (i = 1, t = 1; i <= n; i++, t = !t)
for (j = 1; j <= m; j++)
if (j <= a[i])
sum[t][j] = (sum[t][j - 1] + sum[!t][j]) % mod;
else
sum[t][j] = (sum[t][j - 1] + sum[!t][j] - sum[!t][j - a[i] - 1] + mod) % mod;

写完后我联系到01背包的空间优化方法本以为有一维数组的做法，但思虑再三发现不行。



在01背包的空间优化中，求灰色格的值需要用到的两个值都在灰色格的左边和上边。



但是在本题中，根据递推式，上图中&%#￥￥#@%……&￥总之就是不行啦求大佬看一下怎么说清楚

感谢陈老师~