抽象代数学习笔记（2）关系

1、关系

我在上一篇文章的末章介绍了集合的笛卡儿积，根据定义，我们可以看到两个集合的笛卡儿积也是一个集合。

A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}

从定义上看，笛卡儿积可以使两个完全不相干的集合产生联系，而A，B的元素不一定要拘泥于某种形式，比如说，a可以是一个数字，而b可以是一个字符串。

现在我们任取A×B的一个子集R （不一定是真子集），然后任取a∈A,b∈B 。上一篇文章我们提到，一个元素是否属于一个集合是确定的，这里也是一样，元素(a,b) 是否属于R 是确定。如果(a,b)∈R ，那么称之为a,b 满足关系R ，记作aRb 。而选取A×B 的一个子集R 称之为确定了A，B的一个关系R。

这里举个例子：集合S是某校所有大二学生组成的集合，现在我们取S×S 的一个子集

R⊆S×S={(s0,s1)|s0∈S,s1∈S且s0,s1是同一个班}

那么，R确定了一个关系，这里可以叫做同班同学关系，满足关系的任意两个学生是同班同学。

2、等价关系

在了解关系的定以后，这里介绍一个比较重要的关系—等价关系。

设R是集合S上的一个关系，若这个关系满足下列三个条件：

* 反身性：∀s∈S,sRs

* 对称性：∀s0,s1∈S,s0Rs1蕴含s1Rs0

* 传递性：∀s0,s1,s2∈S,如果s0Rs1,s1Rs2，那么s0Rs2

那么称R是S上的一个等价关系。

有一个比较经典的例子,我们在整数集I上定义一个关系R，

R={(a,b)∈I×I|a=b}

R其实就是整数相等关系，这是一个等价关系。

当等价关系确定后，我们一个重要概念—等价类：如果R是S上的一个等价关系，S中所有等价于x的元素构成的集合Sx={y|yRx}称为元素x的等价类。根据等价类的定义我们容易知道，两个元素的等价类要么相等，要么交集为空。一个集合中所有元素的等价类的并集必然是这个集合本身。

3、商集

研究一个代数系统的时候，有几个与之相关代数系统非常重要，其中一个叫做商代数系统。在开始代数的学习之前，需要了解商集的概念。

首先我们说一下划分：

一个集合A，有以N为指标集的子集族{Ai|i∈N且Ai不为空},只要i≠j,Ai与Aj交集为空，且Ai的并集等于A，那么说这是集合A的一个分类或者分划。它的直观意义是，A中的任意一个元素必然属于且只能属于A的某一个子集。

我们回想一下等价类的概念，不难发现，我们可以根据等价关系对集合进行分划。现在我们在集合S上确定一个等价关系R，T是S的一个子集，假设对于T中不同的元素，它们的等价类各不相同，且T中所有元素的并集就是S，我们说T是关系R下一个等价类表示的完全集。而集合A={St|t∈T}称之为S的一个商集。注意，商集是由等价关系唯一确定的。

举个例子，整数集上的奇偶关系是一个等价关系，设T={1,2} （T的写法不唯一），那么整数集合在奇偶关系下确定的商集A={{全体奇数},{全体偶数}}。

小结

关于关系的概念还有很多，其中包括抽象代数的一个重要分支格论，这里就不一一介绍了。最需要理解清楚的是商集的概念，这是商群的重要基础。