最小生成树——Prim

prim算法是求最小生成树的算法，与求最短路径的dijstra算法类似。是以点为基础进行扩展的。算法的执行过程为：划分两个集合，一个是已放置好的点，另一个数未放置好的点。从任意一个点开始，将这个点放入第一个集合，然后找到与第二个集合中与第一个集合中点距离最近的点，加入第一个集合，重复此操作，一直到所有点都加入为止。

时间复杂度：未优化之前的复杂度是O(v^2)，使用优先级队列优化后可以达到O(ElogE)。

未优化前：无论是使用邻接表还是邻接矩阵，时间复杂度都是O(v^2)，因为需要加入v条边即外层循环V次O(v)，内层需要遍历所有点O(v)来找下一个出发点以更新dis数组，总的复杂度为O(v^2)。

代码（邻接矩阵）：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define INF 0xfffffff
#define N 550

int V, E;
bool vis
;
int dis
, map

;					// dis数组保存与i点相连的最短边，map为邻接矩阵
void Init(){						// 初始化
for(int i = 1; i <= V; i ++){
for(int j = 1; j <= V; j ++){
map[i][j] = INF;
}
vis[i] = 0;
}
}
int Prime(int choose){					// choose 为最小生成树的出发点，其实在这儿不重要，可默认为1
for(int i = 1; i <= V; i ++){			// 更新dis数组
dis[i] = map[choose][i];
}
vis[choose] = 1;				// 标记出发点
dis[choose] = 0;
int ans = 0;
for(int j = 1; j < V; j ++)
{
int min = INF;
for(
4000
int i = 1; i <= V; i ++)
{					// 选取边权最小的点作为下一个出发点
if(!vis[i] && min > dis[i]){
min = dis[i];
choose = i;
}
}
ans += min;
vis[choose] = 1;
for(int i = 1; i <= V; i ++){		// 以最新的出发点的边更新dis数组
if(!vis[i] && dis[i] > map[choose][i]){
dis[i] = map[choose][i];
}
}
}
return ans;
}

int main()
{
int loop;
int start, end, len;
scanf("%d", &loop);
while(loop --){
scanf("%d%d", &V, &E);
Init();
for(int i = 0; i < E; i ++){			// 建图
scanf("%d%d%d", &start, &end, &len);
map[start][end] = map[end][start] = len;
}
int ans = Prime(1);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}

优化之后：首先需要使用邻接表来存才能降低复杂度。先把与第一个点相邻的点加入队列，然后重复执行一下操作：从队列中拿出距离最小且未加入的点，把这个点加入集合，然后再将与此点相邻的点都加入队列，直到所有点都加入。因为有E条边，这个过程一共加入了E个点，时间复杂度为O(ElogE)。
代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
#define INF 0xfffffff
#define N 550
struct Node{
int to, len;
bool operator <(const Node &a)const{
return len > a.len;
}
};
int V, E;
bool vis
;
vector<Node> G
;
priority_queue<Node> Q;
void Init(){
for(int i = 1; i <= V; i ++){
G[i].clear();
vis[i] = 0;
}
while(!Q.empty())Q.pop();
}
int Prime(int choose){
Node p;
for(int i = 0; i < G[choose].size(); i++)
Q.push(G[choose][i]);
vis[choose] = 1;
int ans = 0, cnt = V - 1;
while(!Q.empty() && cnt){
p = Q.top();Q.pop();
if(vis[p.to])continue;
vis[p.to] = 1;
ans += p.len;
cnt--;
choose = p.to;
for(int i = 0; i < G[choose].size(); i++){
p = G[choose][i];
if(!vis[p.to]) Q.push(p);
}
}
return ans;
}

int main()
{
int loop;
int start, end, len;
Node p;
scanf("%d", &loop);
while(loop --){
scanf("%d%d", &V, &E);
Init();
for(int i = 0; i < E; i ++){
scanf("%d%d%d", &start, &end, &len);
p.len = len;
p.to = end;
G[start].push_back(p);
p.to = start;
G[end].push_back(p);
}
int ans = Prime(1);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}

（以上代码未运行）