洛谷 P1005 矩阵取数游戏

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m的矩阵，矩阵中的每个元素aij均为非负整数。游戏规则如下：

1.每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素；

2.每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；

3.每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值*2^i，其中i表示第i次取数（从1开始编号）；

4.游戏结束总得分为m次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入输出格式

输入格式：

输入文件game.in包括n+1行：

第1行为两个用空格隔开的整数n和m。

第2~n+1行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。

数据范围：

60%的数据满足：1<=n, m<=30，答案不超过10^16

100%的数据满足：1<=n, m<=80，0<=aij<=1000

输出格式：

输出文件game.out仅包含1行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

输入输出样例

输入样例#1：

2 3
1 2 3
3 4 2

输出样例#1：

82

说明

NOIP 2007 提高第三题

吐槽

　　一道DP练手题，2007年时这题是靠高精才撑到那么高的难度的，C++11里的__int128对付这题简直变态，数据范围到$2^{90}$，long long不够，__int128最大$2^{128}$，这题松有……

　　常年被大神鄙视，RP积攒了好多，写某些程序都自带小常数。这题我11ms，在洛谷恐怕是rank1了吧，即使不是也是前十（这题不在大牛分站，看不了排名）。翻了6页记录，200ms以内的全用__int128，其他版本的高精度耗时从230ms到2000ms不等。

解题思路

　　不算高精度，就是一道简单的DP，我们发现每一行都可以独立计算，最后统计答案即可。对于每一行，我们用$f[i][j]$（LaTeX上瘾了）表示这行还剩下$[i,j]$时能得到的最高分，那么状态转移方程就显然了——$f[i][j]=max( f[i-1][j]+2^{m-j+i}*a[i-1] , f[i][j+1]+2^{m-j+i}*a[j+1] )$//上一步是从左取还是从右取呢？

　　边界是j>=i，这时f[i][i]表示的只是a[i]两边都被取时的最大得分，要得到这一行取完的得分，还要加上$a[i]*2^{m}$。

　　最后，__int128输出实在是坑，要写“快写”，还要特判0，第一个点答案是0，第一次没特判90分。

源代码

#include<bits/stdc++.h>
#define lll __int128
void print(lll x)
{
if (x==0) return;
if (x) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}

int n,m;
lll ans=0;
int a[100]={0};
lll f[100][100];
lll p[100]={1};

lll dp()
{
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int j=m;j>=i;j--)
{
f[i][j]=std::max( f[i-1][j]+ p[m-j+i-1]*a[i-1]  , f[i][j+1]+ p[m-j+i-1]*a[j+1] );
}
}
lll maxn=-1;
for(int i=1;i<=m;i++) maxn=std::max(maxn,f[i][i]+a[i]*p[m]);
return maxn;
}

int main()
{
for(int i=1;i<=90;i++) p[i]=p[i-1]<<1;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",a+j);
ans+=dp();
}
if(ans==0) puts("0");
else print(ans);
return 0;
}