欧式空间与酉空间——概念区分

欧式空间：

设V是实数域R上的线性空间，在V上任意两向量x、y按某一确定法则对应于唯一确定是的实数，称为内积，记为（x，y），满足以下性质：

1)对称性（x，y）=（y，x）；

2)可加性（x+y，z）=（x，z）+（y，z）；

3)齐次性（k x，y）=k（x，y），k为任意实数；

4)非负性（x，x）≥ 0，当且仅当x=0时有（x，x）= 0.

定义了内积的实线性空间V，叫实内积空间即欧式空间（有限维或无限维）。

欧式空间的子空间仍是欧式空间

酉空间：

设V是复数域C上的线性空间，在V上任意两向量x、y按某一确定法则对应于唯一确定是的复数，称为内积，记为（x，y），满足以下性质：

共轭对称性（x，y）= ；

可加性（x+y，z）=（x，z）+（y，z）；

齐次性（k x，y）=k（x，y），k为任意复数；

非负性（x，x）≥ 0，当且仅当x=0时有（x，x）= 0.

定义了内积的复线性空间V，叫复内积空间即酉空间（有限维或无限维）。

酉空间和欧式空间统称为内积空间。

定义AH=A−TAH=A−T （共轭转置），如果AHA=AAH=IAHA=AAH=I ，则称AA为酉矩阵

如果AH=AAH=A ，则称A为Hermite矩阵，如果AH=−AAH=−A ，则称AA为反Hermite矩阵。

（Hermite矩阵指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。）