抽象代数学习笔记(1) 集合
2017-06-29 16:59
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1、集合
“集合”这个概念很难给出定义。“集合”被提出不久后,围绕集合的各种悖论也接踵而至,这里给出一个比较有名的悖论:S={s|s∉S}
如果s是集合S中的元素,那么根据S的定义,它不属于S;如果s不是集合S中的元素,那么根据S的定义,它属于S,于是一个“自相矛盾”的局面产生了。这就是著名的罗素悖论,相关的悖论还有很多,这些悖论都是围绕集合的定义产生的。后来,为了解决这些问题,数学家们提出了公理集合论,这是后话,属于集合论的范畴,这里不展开讨论。
抽象代数是代数的一个分支,而研究代数,其实就是研究集合以及定义在这个集合之上的运算。因此在学习抽象代数时只需要搞清楚集合由哪些元素构成,一个元素是否属于这个集合即可。
首先给出集合相等的定义:如果两个集合拥有相同的元素,那么两个集合相同。记作:A=B
2、子集
集合A是集合B的子集,当且仅当A中的元素一定也是B中的元素,记作A⊆B,如果A≠B,那么称A是B的真子集,记作A⊂B。集合S 的所有子集构成的集合称为S的幂集。3、集合的运算
在学习集合的运算之前,需要记住一点,代数中的集合不能为空集,否则无法定义运算。因此在学习代数时不考虑空集的情况。3.1、交
集合A,B的交集定义为:A∩B={s|s∈A and s∈B}
也就是同属于A,B的元素构成的集合。
3.2、并
集合A,B的并集定义为:A∪B={s|s∈A or s∈B}
即两个集合A,B中所有元素构成的集合。
3.3、笛卡尔积
集合A,B的笛卡尔积定义为:A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}
它是由两个集合中的元素构成的有序对。
4、子集族和指标集
设J是一个非空集合,对于每个j∈J,对应集合S的一个子集Sj,则通常说,{Sj|Sj⊆S,j∈J}
是S的一个以J为标号的子集族,J称为指标集。
小结
以上就是关于集合的基础知识。小弟不是数学系出身,才疏学浅,如有错误,在所难免,烦请各位大神不吝赐教^_^相关文章推荐
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