ZOJ 3822 Domination【概率DP】

题目链接

题意：有个n*m的棋盘，每次在其中随机选一个位置放一个棋子，问期望次数是多少次之后，棋盘上的每行每列至少都要有一个棋子。

令dp[i][j][k]表示放了k个棋子后有i行和j列上至少有一个棋子的概率（注意不是1到i行和1到j列），每次放一个新的棋子对原来状态的影响只有四种可能：1. 没有影响。2. 多出新的一行满足要求。3. 多出新的一列满足要求。4. 多出新的一行一列满足要求。

状态转移方程分别是：

1. dp[i][j][k] += dp[i - 1][j][k - 1] * (n - i + 1) * j / (n * m - k + 1)                   

2. dp[i][j][k] += dp[i][j - 1][k - 1] * (m - j + 1) * i / (n * m - k + 1)

3. dp[i][j][k] += dp[i - 1][j - 1][k - 1] * (n - i + 1) * (m - j + 1) / (n * m - k + 1)

4. dp[i][j][k] += dp[i][j][k - 1] * (i * j - k + 1) / (n * m - k + 1)

求出的是放了k个棋子之后满足要求的概率，而最后求的是数学期望，也就是说要满足放k个棋子之后正好满足要求的概率。因此要减去k-1的概率。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int T;
int n, m;
double dp[55][55][55 * 55];
int main()
{
scanf("%d", &T);
while (T--)
{
scanf("%d %d", &n, &m);
memset(dp, 0, sizeof(dp));
dp[0][0][0] = 1;
double ans = 0;
for (int k = 1; k <= n * m; k++)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
dp[i][j][k] += dp[i - 1][j][k - 1] * (n - i + 1) * j / (n * m - k + 1);
dp[i][j][k] += dp[i][j - 1][k - 1] * (m - j + 1) * i / (n * m - k + 1);
dp[i][j][k] += dp[i - 1][j - 1][k - 1] * (n - i + 1) * (m - j + 1) / (n * m - k + 1);
dp[i][j][k] += dp[i][j][k - 1] * (i * j - k + 1) / (n * m - k + 1);
}
}
}
for (int k = 1; k <= n * m; k++)
{
// cout << dp
[m][k] << endl;
ans += k * (dp
[m][k] - dp
[m][k - 1]);
}
printf("%.12f\n", ans);
}
return 0;
}