“玲珑杯”线上赛 Round #17 Sin your life（数学知识）

DESCRIPTION

给一个正整数nn，求下列表达式的最大值：
(sin(x)+sin(y)+sin(z))[x+y+z=n][x≥1][y≥1][z≥1](sin(x)+sin(y)+sin(z))[x+y+z=n][x≥1][y≥1][z≥1]
为了降低难度，这里的x,y,zx,y,z皆为整数

INPUT

输入只有一行，包含一个正整数n(3≤n≤3∗106)n(3≤n≤3∗106)

OUTPUT

输出一行表示答案，请恰好保留99位小数.（你的答案必须和标准答案完全一样才算通过)

SAMPLE INPUT

3

SAMPLE OUTPUT

2.524412954

思路：先转化sin(x)+sin(y)+sin(z)=2*sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)+sin(n-(x+y))；

x+y的取值范围为[2,n-1]，假设固定x+y，则相当于求A*cos((x-y)/2)+B的最大取值；

则本题转化为对于固定x+y，怎么求cos(...)函数最大取值；

我们先举几个例子观察：(ps：x,y,z均>=1)

   1）x+y=2，则x-y={0}； 

   2）x+y=4，则x-y={-2,0,2}；

   3）x+y=6，则x-y={-4,-2,0,2,4}；  

观察x-y取值特点迭代更新即可；(ps：cos()函数对称)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
double ans = -1E9;
double m1 = -1E9, m2 = -1E9;
for (double i = 2; i < n; i += 2)
{
m1 = max(m1, cos( (i - 2) / 2 ));
ans = max(ans, 2. * sin(i/2) * m1 + sin(n - i));
}
for (double i = 3; i < n; i += 2)
{
m2 = max(m2, cos( (i - 2) / 2 ));
ans = max(ans, 2. * sin((double)i/2) * m2 + sin(n - i));
}

printf("%.9f\n",ans);
return 0;
}