[bzoj2150] 部落战争(二分图最小边覆盖)

2150: 部落战争

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Description

lanzerb的部落在A国的上部，他们不满天寒地冻的环境，于是准备向A国的下部征战来获得更大的领土。 A国是一个M*N的矩阵，其中某些地方是城镇，某些地方是高山深涧无人居住。lanzerb把自己的部落分成若干支军队，他们约定： 1. 每支军队可以从任意一个城镇出发，并只能从上往向下征战，不能回头。途中只能经过城镇，不能经过高山深涧。 2. 如果某个城镇被某支军队到过，则其他军队不能再去那个城镇了。
3. 每支军队都可以在任意一个城镇停止征战。 4. 所有军队都很奇怪，他们走的方法有点像国际象棋中的马。不过马每次只能走1*2的路线，而他们只能走R*C的路线。 lanzerb的野心使得他的目标是统一全国，但是兵力的限制使得他们在配备人手时力不从心。假设他们每支军队都能顺利占领这支军队经过的所有城镇，请你帮lanzerb算算至少要多少支军队才能完成统一全国的大业。

Input

第一行包含4个整数M、N、R、C，意义见问题描述。接下来M行每行一个长度为N的字符串。如果某个字符是'.'，表示这个地方是城镇；如果这个字符时'x'，表示这个地方是高山深涧。

Output

输出一个整数，表示最少的军队个数。

Sample Input

【样例输入一】

3 3 1 2

...

.x.

...

【样例输入二】

5 4 1 1

....

..x.

...x

....

x...

Sample Output

【样例输出一】

4

【样例输出二】

5

【样例说明】

【数据范围】

100%的数据中，1<=M,N<=50，1<=R,C<=10。

HINT

Source

题解

水题水题 在知道二分图的最小边覆盖后就好做了

借鉴网上对于二分图的最大匹配，最小什么什么.....的解释 下面解释的是转的

1、二分图中最小顶点覆盖等于最大匹配数

最小顶点覆盖：实质是个点集，点集里面的点能覆盖所有的边，最小顶点覆盖就是满足这个要求的点集中点数最小的那个。

证明(是我的个人理解，其实是我没看懂别人的= =)：首先，最小顶点覆盖一定>=最大匹配，因为假设最大匹配为n，那么我们就得到了n条互不相邻的边，光覆盖这些边就要用到n个点。(参考金海峰，按照人家的思路来，省的别人说我这是瞎蒙的)这里事实上就可以看出最小顶点覆盖和最大匹配的不同了，最大匹配的点一定是两两成对的，而最小顶点覆盖还有相对孤立的点。注意是相对孤立，并不是他们之间肯定没有边，而是不属于匹配范围内的。那么匹配范围外的节点，一种就是有边和匹配范围内元素相连但是没有匹配到，一种就是没边。

有边的话这个边就连在了匹配范围内，那这个顶点覆盖代表元素就是既可以连接上匹配元素，又可以连接到非匹配元素，相当于这个非匹配范围内的元素被这个“特殊顶点”覆盖，最小顶点覆盖数并没有增加；

那么完全没边的孤立节点呢？好嘞，最小点集覆盖目的就是要覆盖所有的边，既然这个节点没有边相连，那还要你干毛？滚吧。这样依然没有影响最小顶点覆盖数。

至此，匹配范围外的所有节点都不可能影响到最小顶点覆盖数，所以两者完全相等。

2、二分图中最小边覆盖=顶点数-最小顶点覆盖（最大匹配）

最小边覆盖：实质是个边集，这个集合里的边能覆盖所有的点，最小边覆盖是满足这个要求的所有边集中边数最少的一个。

这里顶点数等于总的顶点数，是二分图两边的顶点数，不是一边。

证明：(这里我看懂了该博客，所以直接贴上他的思路)设最大匹配数为m，总顶点数为n。为了使边数最少，又因为一条边最多能干掉两个点，所以尽量用边干掉两个点。也就是取有匹配的那些边，当然这些边是越多越好，那就是最大匹配了，所以先用最大匹配数目的边干掉大多数点。剩下的解决没有被匹配的点，就只能一条边干掉一个点了，设这些数目为a，显然，2m+a=n，而最小边覆盖=m+a，所以最小边覆盖=（2m+a）-m=n-m。

3、二分图中最大独立集+最小顶点覆盖（最大匹配）=顶点数

最大独立集：实质是个点集，这个集合里的点无论怎样都两两相连不到一起，满足这个要求的点数最少的一个。

证明：这个最好理解了，既然最小顶点覆盖就是最大匹配的那些顶点，那么剩下的节点就是相对孤立的点。而这些相对孤立的点两两肯定没有边(若有边，匹配数就该加一了，也就是这两点是匹配点)，不就是最大独立集吗？那这样所有的点就都考虑到了，两者一加就变成了所有顶点数。

此题的话 知道2就简单了 因为只能往下走

拆点（拆成二分图）。。 每个点连四个边(如果是能走到的) 

然后匈牙利算法算出最大匹配 一减就好

//二分图的最小边覆盖
//=顶点数-最小点覆盖（最大匹配数）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define N 3000
using namespace std;
int n,m,r,c;int id;
int mp

,mat
,a

,num

;
int dx[10],dy[10];
bool flag
;
bool find(int x){
for(int i=1;i<=id;i++){
if(mp[x][i]&&!flag[i]){
flag[i]=1;
if(!mat[i]||find(mat[i])){
mat[i]=x;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
char ch[60];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%s",ch+1);
for(int j=1;j<=m;j++){
if(ch[j]=='.') {
num[i][j]=++id;
a[i][j]=1;
}
}
}
dx[1]=r;dx[2]=r;dx[3]=c;dx[4]=c;
dy[1]=c;dy[2]=-c;dy[3]=r;dy[4]=-r;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
if(a[i][j])
for(int k=1;k<=4;k++)
{
int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
if(x<1||x>n||y<1||y>m) continue;
if (a[x][y]) mp[num[i][j]][num[x][y]]=1;
}
int sum=0;
for(int i=1;i<=id;i++)
{
memset(flag,0,sizeof(flag));
if(find(i)) sum++;
}
printf("%d",id-sum);
return 0;
}