[置顶] [竞赛图判定定理]兰道定理(Landau's Theorem)介绍及其一种证明

前言

竞赛图(tournament)是一个定义在有向图上的概念，顾名思义，它可以想象成n个人两两对决，赢得向输的连边，其实就是给一副完全图的无向边定了方向。

竞赛图有很多十分优美的性质，比如说在之前的[JZOJ5061]最长路径中我就介绍了其关于曼哈顿路径的一些性质。

在这里，我们要介绍一个判定竞赛图的优美定理——兰道定理(Landau’s Theorem)，这个定理在1953年被Landau, H.G.证明。目前，这个定理在国内竞赛圈还不算普及，虽然在部分oj上有少数用到这个定理的题目（如：HDU5873），但是在国内网站上还没有找到任何证明。

定理

定义

定义一个竞赛图的比分序列(score sequence)，是把竞赛图的每一个点的出度从小到大排列得到的序列。

定理内容

一个长度为n的序列s=(s1≤s2,≤...≤sn)，n≥1，是合法的比分序列当且仅当：

∀1≤k≤n,∑i=1ksi≥(k2)

且k=n时这个式子必须取等号。

定理证明

首先这个定理的必要性是显然的：即任一n阶竞赛图都满足这个条件。

现在我们只需要证明这个定理的充分性。

在这里，我们的证明是一个构造算法。思路是从一个一般竞赛图开始，每次改变两条边的方向，构造出一个比分序列是给定序列的竞赛图。

假设有一个一个满足定理条件的序列s。现在我们构造一个及其平凡的n阶竞赛图Tn，这个竞赛图的第i个节点向所有j<i的j节点都连有向边，因此其比分序列是(0,1,...,n−1)，我们要从这个平凡竞赛图开始构造。

考虑当前构造到了一个竞赛图U，它的比分序列u满足

∀1≤k≤n,∑i=1ksi≥∑i=1kui

当k=n时显然要取等号。

显然初始时Tn是满足这个条件的。

令α为第一个满足sα>uα的位置，这个位置显然存在不然就代表我们构造成功了。令β表示最后一个满足uα=uβ的位置。

再考虑γ是第一个满足sγ<uγ的位置，这个位置肯定要严格大于β，而且这个位置为什么一定存在呢？因为∑ni=1si=∑ki=1ui但是β及其以前的位置s都是要大于等于u的。

我们画一下这些位置大概是这样排列的

u1||s1u2||s2.........uα∧sα=uα+1∧sα+1=.........=uβ∧sβ<uβ+1∧或者||sβ+1.........uγ−1∧或者||sγ−1<uγ∨sγ.........un?sn

然后显然我们可以得到uγ>sγ≥sβ>uβ，即uγ≥uβ+2这个意味着什么呢？

考虑点γ和点β，γ的出度比β大2，说明肯定至少有一个点λ满足γ向其连边而β没有向其连边（那么λ一定会向β连边），为什么要至少大2才满足呢？因为如果恰好大1的话多出来的这条边有可能是γ连向β，这么λ这个点的存在性就不好说。

于是我们说明了至少存在一个λ(λ≠β,λ≠γ)满足存在有向边(γ,λ)和(λ,β)。

考虑翻转这两条边，然后得到一个新的竞赛图，简单推导就可以发现它的比分序列u′一定仍然满足

∀1≤k≤n,∑i=1ksi≥∑i=1ku′i

且依然在n=k时一定取等号。

这样我们可以构造出一个新的竞赛图，可是为什么一直这样做就可以得到一个比分序列是s的竞赛图呢？

考虑定义两个竞赛图的曼哈顿距离

dist(u.s)=∑i=1n|si−ui|

显然，经过我的边翻转操作之后一定有dist(u′,s)=dist(u,s)−2。并且任意时候由于∑ni=1si=∑ni=1ui，一定有dist(u,s)≡0(mod2)（模2意义下可以拆开绝对值符号）。也就是说dist(u,s)2步我就可以构造出s序列所对应的竞赛图！

至此，定理证明完毕。

参考资料

维基百科：竞赛图

本文所参考的论文：JR Griggs,KB Reid, Landau’s Theorem Revisited,《Australas.j.combin》, 2004, 20:19-24