扩展gcd

相信大家已经学会如何解二元一次方程组了

对于{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 在有解的情况下

{x=b2c1−b1c2a1b2−a2b1y=a1c2−a2c1a1b2−a2b1即{x=|c1 b1c2 b2||a1 b1a2 b2|y=|a1 c1a2 c2||a1 b1a2 b2|

但是对于不定方程ax+by=c(a,b,c为整数)怎么求出其中一组整数解呢？

首先我们记d=gcd(a,b)，如果c%d≠0(“%”表示取模”mod”，下同)，那么方程ax+by=c无整数解，（表示不会证，具体参看贝祖定理）

那么根据裴蜀定理（其实是一个东东），可得对于ax+by=c(d|c)都有一组整数解

设c′=c/d,x′=x/c′,y′=y/c′ 有方程ax′+by′=gcd(a,b)，最后求出x,y即可。

那么对于方程ax+by=gcd(a,b)如何去解呢？

首先我们知道gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

prove:

若a < b ,则a%b=a，gcd(b,a%b)=gcd(b,a)=gcd(a,b)

若a > b ,则a%b=a−kb(k∈N+)

设c=gcd(a,b),a=pc,b=qc则p,q互质,a%b=(p−kq)c

∵gcd(q,kq)=q,p,q互质∴p−kq≡p(modq)∴gcd(q,p−kq)=1

∴gcd(b,a%b)=gcd(qc,(p−kq)c)=c=gcd(a,b)

有了上面这个定理后，方程可以进行如下变换:

∵ax+by=gcd(a,b)∴bx+(a%b)y=gcd(b,a%b)

∵gcd(a,b)=gcd(b,a%b)∴ax+by=bx+(a%b)y=bx+(a−[ab]b)y

∴ax+by=ay+b(x−[ab]y)①

我们设f(a,b)=(x,y) 表示方程ax+by=gcd(a,b)的一组整数解x,y

令f(b,a%b)=(x′,y′)

对于任意a,b要使式子①成立有x=y′,y=x′−[ab]y′

当b=0时，此时x=1,y=0即可满足条件

所以扩展GCD是个以普通GCD为基础的递归。

代码如下：

void exGcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
if(b==0){x=1,y=0;return;}
exGcd(b,a%b,x,y);
long long t=y;y=x-a/b*y;x=t;
}