生成生成树计数 --- Matrix-Tree定理(基尔霍夫矩阵树定理)

定理证明请点这,多看几遍就懂了

模板题点这

题目大意：

*一个有n座城市的组成国家,城市1至n编号,其中一些城市之间可以修建高速公路;

*需要有选择的修建一些高速公路,从而组成一个交通网络;

*计算有多少种方案,使得任意两座城市之间恰好只有一条路径;

模板 ：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=20;
int degree[maxn];        //度数矩阵,记录每一个点的度数.    //不懂就看下上面那个定理证明.
ll a[maxn][maxn];        //矩阵树,  对角线是度数矩阵的每一个数,其余地方为 a[i][j] = a[i][j] - vis[i][j] ;
int vis[maxn][maxn];   //临接矩阵,u与v相连就是等于1,否则就是为0.注意是无向边.

ll det(int n)    //生成树计数:Matrix-Tree定理   //这个是求行列式的精华啊(实质上这个子函数就是用来
//求行列式的值的!)(所以也适用于求行列式值的题)
{
ll ret=1;
for(int i=2; i<=n; i++)    //计算任意一个n-1阶行列式的值就是答案.
{
for(int j=i+1; j<=n; j++){
while(a[j][i])
{
ll t=a[i][i]/a[j][i];    //如果要模,则这里就一下
for(int k=i; k<=n; k++)
a[i][k]=(a[i][k]-a[j][k]*t);    //加一下
for(int k=i; k<=n; k++)
swap(a[i][k],a[j][k]);
ret=-ret;
}
}
if(a[i][i]==0)
return 0;     //图无法联通.
ret*=a[i][i];     //加一下
}
if(ret<0)     // 可以缩合为 ((ret % p ) + p ) % p ;
ret=-ret;
return ret;
}    //这个就是程序的主要函数,计算行列式的值.

int main()
{
int tcase;
scanf("%d",&tcase);
while(tcase--)
{
memset(degree,0,sizeof(degree));
memset(a,0,sizeof(a));
memset(vis,0,sizeof(vis));
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
int u,v;
while(m--)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
vis[u][v]=1;   //相连就是1,否则就是0.
vis[v][u]=1;
degree[u]++;
degree[v]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i==j) a[i][j] = degree[i];
else a[i][j] -= vis[i][j];
}
}
printf("%lld\n",det(n));
}
return 0;
}

综合一下,还可以这样写:

(这个是在定理上面加强版,把一些步骤直接在缩合在了一起)

灵活点就是在目标矩阵中,为:(对于一些变形题就这样处理).

无向图的基尔霍夫矩阵: 对角线上表示每个点的度数,若ij之间有边则矩阵ij处为-1

无向图的生成树的数目为: 任意一个n-1阶主子式的行列式的绝对值.

while(m--)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
a[u][v]=a[v][u]=-1;     //u与v相连,所以在目标矩阵中为-1.
degree[u]++;
degree[v]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i][i]=degree[i];