Codeforces Round #419 B. Karen and Test (思维 + 组合数 + 乘法逆元)

题意

对于给定的 N 个数，呈倒三角形的形式逐层产生 N-1, N-2, … 1 个数。其产生方式逐层且每层从左到右，对于第 i 个产生的元素，若 i 为第奇数个，则其为上一层两个数之和，反之为差。求最后一层的元素? 其中所有元素均对

1e9 + 7

取模

解题思路

谜一样的解题思路。

借用官方题解的图来看：



当 N 为偶数的时候，即初始为偶数个元素时，观察蓝色部分可知将元素按奇偶分类，其仍满足组合数的系数项。如 a1,a3,a5 ，对于 a1+2×a3+a5 ，其系数项分别为 C02 , C12 , C22 。

同时，考虑其对最终答案的贡献，可以看到当 N 为 6 的时候，倒数第二层的两项相加为最后答案；但是，当 N 为 4 的时候，（观察前四个元素所组成的倒三角形），倒数第二层的 a1+a3 与 a2+a4 之差形成最终结果。故应将其按照 N≡0(mod4) 和 N≡2(mod4) 分开处理。

对于 N≡1(mod4) 和 N≡3(mod4) ，只需要想处理第一层，将产生的第二次视作输入即可。

对于组合数的处理，可以考虑结合乘法逆元。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200000 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, a
, deal
;
long long fac
= {1, 1}, inv
= {0, 1}, f
= {1, 1};
void init()
{
for(int i=2;i<N;i++)
{
fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
f[i] = (mod - mod/i) * f[mod%i] % mod;
inv[i] = inv[i-1] * f[i] % mod;
}
}
long long C(long long n, long long i) {
if(i == 0 || i == n)    return 1;
return fac
* inv[n-i] % mod * inv[i] % mod;
}
int main()
{
init();
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
if(n <= 2) {
printf("%d\n", (a[1] + a[2]) % mod);
return 0;
}
if(n % 2) {
for(int i=2;i<=n;i++)
(deal[i-1] = a[i-1] + (i%2?-1:1) * a[i]) %= mod;
n--;
} else {
for(int i=1;i<=n;i++)
deal[i] = a[i];
}
long long ans = 0, tmpC;
int ope = (n%4 == 0 ? -1 : 1);
for(int i=1;i<=n;i+=2)
{
tmpC = C(n/2-1, i/2);
(ans += tmpC * (deal[i] + ope * deal[i+1]) % mod) %= mod;
}
ans = (ans % mod + mod) % mod;
printf("%d\n", ans % mod);
}