[BZOJ3944]Sum-杜教筛

Sum

Description

Input

一共T+1行

第1行为数据组数T(T<=10)

第2~T+1行每行一个非负整数N，代表一组询问

Output

一共T行，每行两个用空格分隔的数ans1,ans2

Sample Input

6

1

2

8

13

30

2333

Sample Output

1 1

2 0

22 -2

58 -3

278 -3

1655470 2

很久以前，本蒟蒻很naive的认为O(n)的线性筛已经是最快的筛法了……

然而现在这个神奇的O(n23)的杜教筛完全推翻了本蒟蒻的想法…….

大千世界真是无奇不有…….

思路:

杜教筛入门题。

杜教筛可以用来解决一些积性函数的前缀和问题。

主要是利用了这类积性函数的一些神奇的性质来简化求值……

咱语文水平不高所以上面两句毫无意义的话可以无视。

不如我们来推一波?

看例子想必是最容易理解的了，尤其是同时看两个。

φ(n):

对于φ(n)，有一个性质:∑d|nφ(d)=n

我们可以把它转化成这样:φ(n)=n−∑d|n,d<nφ(d)

定义它的前缀和为ϕ(n)，有:

ϕ(n)=∑ni=1φ(i)

=∑ni=1i−∑d|i,d<iφ(d)

=n⋅(n+1)2−∑ni=2∑d|i,d<iφ(d)

=n⋅(n+1)2−∑ni=2∑⌊ni⌋d=1φ(d)

=n⋅(n+1)2−∑ni=2ϕ(⌊ni⌋)

然后因为⌊ni⌋的取值对于一段连续的i是相同的，咱就可以把相同的用乘法加速计算，而不是一个个去枚举了。

μ(n):

对于μ(n)，同样有一个性质:[n=1]=∑d|nμ(d)

定义它的前缀和为M(n)，有:

1=∑ni=1[i=1]

=∑ni=1∑d|iμ(d)

=∑ni=1∑⌊ni⌋d=1μ(d)

=∑ni=1M(⌊ni⌋)

所以M(n)=1−∑ni=2M(⌊ni⌋)，同样可以用⌊ni⌋的相同取值来加速。

于是这题就可做了，用哈希或map来一波记忆化搜索，就可以做到上面的O(n23)了~

实现上，如果你和咱一样懒并且不怕自己的程序的时间复杂度多一个log，尽管和咱一样开map，时间还是可以接受的(反正只是一个不算太大的值)~

另外会爆int，直接开long long或者int计算时强转都是可以的~

#include<iostream>
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef map<int,ll>::iterator m_it;

const int N=5000000;

int pri[N/5],tot;
ll phi
,mu
;
bool npri
;
int n;

map<int,ll>phis,mus;

inline void init()
{
phi[1]=1;
mu[1]=1;

for(int i=2;i<N;i++)
{
if(!npri[i])
{
pri[++tot]=i;
mu[i]=-1;
phi[i]=i-1;
}

for(int j=1;j<=tot && pri[j]*i<N;j++)
{
npri[pri[j]*i]=1;

if(i%pri[j])
{
phi[pri[j]*i]=(pri[j]-1)*phi[i];
mu[pri[j]*i]=-mu[i];
}
else
{
phi[pri[j]*i]=phi[i]*pri[j];
mu[pri[j]*i]=0;
break;
}
}
}

for(int i=1;i<N;i++)
{
phi[i]+=phi[i-1];
mu[i]+=mu[i-1];
}
}

ll calc_phi(ll n)
{
if(n<N)
return phi
;

m_it it;
if((it=phis.find(n))!=phis.end())
return it->second;

ll ret=n*(n+1)>>1,nxt;
for(ll i=2;i<=n;i=nxt+1)
{
nxt=n/(n/i);
ret-=(nxt-i+1)*calc_phi(n/i);
}

return phis
=ret;
}

ll calc_mu(ll n)
{
if(n<N)
return mu
;

m_it it;
if((it=mus.find(n))!=mus.end())
return it->second;

ll ret=1,nxt;
for(ll i=2;i<=n;i=nxt+1)
{
nxt=n/(n/i);
ret-=(nxt-i+1)*calc_mu(n/i);
}

return mus
=ret;
}

int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);

init();
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
printf("%lld %lld\n",calc_phi(n),calc_mu(n));
}

return 0;
}