bzoj2005[Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000

分析：

看了网上蛮多的解题报告

觉得只有自己写才能说清楚：

首先我们需要知道一个知识，

对于坐标系第一象限任意的整点p(n,m)，

其与原点O(0,0)的连线上除过原点整点的个数为gcd(n,m)

其他象限上个数则为gcd(abs(n),abs(m))

证明：

考虑在op上最小的一个整点(x,y)(这里的最小是指横纵坐标绝对值最小)

x与y必然满足gcd(x,y)=1，即x与y互质

因为若不互质的话，将x与y均除去他们的公约数后可以产生一个更小的整点

则显然有(kx,ky){x<=kx<=n,k属于正整数}也在线段op上，而且这些点也是op上全部的整点，

显然这些点的个数等于最大的那个k

则显然k=gcd(n,m)，证明完毕。

所以题目转化成：

Sigma(2*gcd(i,j){1<=i<=n,1<=j<=m})+mn -2mn =Sigma( 2*gcd(i,j){1<=i<=n,1<=j<=m} )-mn

这个 -2mn 是因为

针对每一个数对(i,j),都多加了1(本身，题目表示了)

整个矩阵一共有mn个点，前面又有一个2*，所以我们要把这一部分减去

则现在我们只需要求出每一个gcd(n,m)即可,然而直接枚举时间是O(n^2)不够优秀

所以我们考虑能不能优化一下

我们构建一个数组f，f[i]表示gcd=i的有序数对的个数(i<=min(n,m))

那么Sigma 2*gcd(n,m) => Sigma 2*(i*f[i])

那f[i]要怎么求呢

若i是数对(x,y)的约数，显然f[i]=(n/i)*(m/i)

但i并不是最大约数啊，不过处理方法很简单，考虑到这些当前的数对可能存在比i更大的公约数为2i,3i,4i…ki(ki<=min(m,n))，

只需将这些数对删去即可,按照从大到小的顺序求num[i]即可

f[i]=(n/i)*(m/i)-Sigma(num[ki]) , 1<=ki<=min(n,m)

深刻理解了之后，就一A啦

注意开long long

这里写代码片
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define ll long long

using namespace std;

const ll N=100001;
ll n,m;
ll f
;

int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
ll i,j,ans=0;
for (i=min(n,m);i>=1;i--)
{
f[i]=(n/i)*(m/i);
for (j=2;i*j<=min(n,m);j++)  //去除最大公约数不是i的数对
f[i]-=f[i*j];
ans=ans+f[i]*2*i;
}
ans-=(n*m);
printf("%lld",ans);
return 0;
}