BZOJ 3670: [Noi2014]动物园(kmp+递推)
2017-06-19 17:27
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Description
近日,园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅,只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气,让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的,园长决定开设算法班,让动物们学习算法。某天,园长给动物们讲解KMP算法。
园长:“对于一个字符串S,它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内,求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗?”
熊猫:“对于字符串S的前i个字符构成的子串,既是它的后缀又是它的前缀的字符串中(它本身除外),最长的长度记作next[i]。”
园长:“非常好!那你能举个例子吗?”
熊猫:“例S为abcababc,则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab,ab既是它的后缀又是它的前缀,并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理,还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0,next[4] = next[6] = 1,next[7] = 2,next[8] = 3。”
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后,他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。
下课前,园长提出了一个问题:“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串,既是它的后缀同时又是它的前缀,并且该后缀与该前缀不重叠,将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa,则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa,其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’,同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’,但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了,所以不能计算在内。同理,num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”
最后,园长给出了奖励条件,第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话,睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了!但企鹅并不会做这道题,于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢?
特别地,为了避免大量的输出,你不需要输出num[i]分别是多少,你只需要输出
对1,000,000,007取模的结果即可。
Input
第1行仅包含一个正整数n ,表示测试数据的组数。随后n行,每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S,S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行,行末不会存在多余的空格。Output
包含 n 行,每行描述一组测试数据的答案,答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据,仅需要输出一个整数,表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。Sample Input
3aaaaa
ab
abcababc
Sample Output
361
32
HINT
n≤5,L≤1,000,000Solution
这题跟BZOJ 3620这题差不多,都是要充分利用Next数组的性质。我们复习一下熊猫说过的话:“对于字符串S的前i个字符构成的子串,既是它的后缀又是它的前缀的字符串中(它本身除外),最长的长度记作next[i]。”这是一个很明确的定义。
类比AC自动机,这里的next就相当于fail,走回它的根找跟它后缀一样的前缀。而现在要求的是num数组。如果num没有如此苛刻,不要求不重叠的话,很明显,它满足线性递推关系。num[k]=num[Next[k]]+1其中k是这次的Next。
注意边界是num[0]=0,就是说num[1]是为1的。例如aab中Next[2]=1,所以num[1]=1,代表在2这个位置有1个可重叠(当然不包括自身)的符合题意的字符串,即a。
那如何加上不可重叠这一条件呢?那就跟bzoj2620那题一样了,我们算完Next数组并递推算出所有num后(非题意中的),由于num数组是递增的,然后我们再进行一边类似的自我匹配,如果当前的k不满足题意就忘回跳,跳到满足题意的k时,num[k]就是这次i的答案。因为num满足单调性,所以往回跳到以前的肯定全是,这些总和就为num[k] (此时就已经保证不重叠了所以直接用)。
那同那一题一样,k跳完后要不要回到Next[i]呢?答案依旧是不用。如果变回去了就会TLE(亲测),因为此时已是理论n^2的了。那为什么可以不跳呢?k其实不用严格等于Next的值。因为再遇到一个字符后,不可能让k立刻回来。因为再多一个,原来的Next最多+1,而原来超过长度的那些最多往后去一个后变得不超。这样我们下次无非两种情况,k往回跳了,这时已经提前跳好了一部分;要不就是没跳,那对答案的影响也可能多1,k后面就加回了1。这样再算答案也是不会错的。保证正确性后,我们也保证了时间为O(n)的了。因为k是接着上一轮的,往回走的步数不超过往前加的步数。
Code
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #define N 1000010 #define Mod 1000000007 using namespace std; typedef long long LL; int nG, n, Next ; char s ; LL num , Ans; void Work(){ Next[0] = Next[1] = 0; int k = 0, n = strlen(s); for(int i = 2; i <= n; i++){ while(k && s[k] != s[i-1]) k = Next[k]; if(s[k] == s[i-1]) k ++; Next[i] = k; } num[0] = 0;//注意初始化 for(int i = 1; i <= n; i++) num[i] = num[Next[i]] + 1; k = 0; Ans = 1; for(int i = 2; i <= n; i++){ while(k && s[k] != s[i-1]) k = Next[k]; if(s[k] == s[i-1]) k ++; while((k<<1) > i) k = Next[k]; Ans = (Ans * (num[k] + 1) % Mod) % Mod; } } int main(){ scanf("%d", &nG); while(nG --){ scanf("%s", &s); Work(); printf("%lld\n", Ans); } return 0; }
此后吾之剑与汝同在,汝之命运与吾共存。
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