BZOJ 1697: [Usaco2007 Feb]Cow Sorting牛排序 置换

1697: [Usaco2007 Feb]Cow Sorting牛排序

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Description

农夫JOHN准备把他的 N（1 <= N <= 10,000）头牛排队以便于行动。因为脾气大的牛有可能会捣乱，JOHN想把牛按脾气的大小排序。每一头牛的脾气都是一个在1到100，000之间的整数并且没有两头牛的脾气值相同。在排序过程中，JOHN 可以交换任意两头牛的位置。因为脾气大的牛不好移动，JOHN需要X+Y秒来交换脾气值为X和Y的两头牛。 请帮JOHN计算把所有牛排好序的最短时间。

Input

第1行： 一个数， N。

第2~N+1行： 每行一个数，第i+1行是第i头牛的脾气值。

Output

第1行： 一个数，把所有牛排好序的最短时间。

Sample Input

3

2

3

1

输入解释：

队列里有三头牛，脾气分别为 2，3， 1。

Sample Output

7

输出解释：

2 3 1 : 初始序列

2 1 3 : 交换脾气为3和1的牛(时间=1+3=4).

1 2 3 : 交换脾气为1和2的牛(时间=2+1=3).

1.找出初始状态和目标状态。明显，目标状态就是排序后的状态。

2.画出置换群，在里面找循环。例如，数字是8 4 5 3 2 7

明显，目标状态是2 3 4 5 7 8，能写为两个循环：

(8 2 7)(4 3 5)。

3.观察其中一个循环，明显地，要使交换代价最小，应该用循环里面最小的数字2，去与另外的两个数字，7与8交换。这样交换的代价是：

sum – min + (len – 1) * min

化简后为：

sum + (len – 2) * min

其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字。

4.考虑到另外一种情况，我们可以从别的循环里面调一个数字，进入这个循环之中，使交换代价更小。例如初始状态：

1 8 9 7 6

可分解为两个循环：

(1)(8 6 9 7)，明显，第二个循环为(8 6 9 7)，最小的数字为6。我们可以抽调整个数列最小的数字1进入这个循环。使第二个循环变为：(8 1 9 7)。让这个1完成任务后，再和6交换，让6重新回到循环之后。这样做的代价明显是：

sum + min + (len + 1) * smallest

其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字，smallest是整个数列最小的数字。

5.因此，对一个循环的排序，其代价是sum – min + (len – 1) * min和sum + min + (len + 1) * smallest之中小的那个数字。

6.我们在计算循环的时候，不需要记录这个循环的所有元素，只需要记录这个循环的最小的数及其和。

7.在储存数目的时候，我们可以使用一个hash结构，将元素及其位置对应起来，以达到知道元素，可以快速反查元素位置的目的。这样就不必要一个个去搜索。

http://hzwer.com/3905.html

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<string>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch<='9'&&ch>='0'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int N=100100;
const int M=1000100;
int n,ecnt,cnt,a
,b
,last
;
ll f
[2],mn
;
bool book
;
struct EDGE{int to,nt;}e[M];
inline void add(int u,int v)
{e[++ecnt]=(EDGE){v,last[u]};last[u]=ecnt;}
void seek(int u)
{
for(int i=last[u];i;i=e[i].nt)
{
if(book[e[i].to])continue;
book[e[i].to]=1;
mn[cnt]=min(int(mn[cnt]),e[i].to);
f[cnt][1]+=e[i].to;f[cnt][0]++;
seek(e[i].to);
}
}
void solve()
{
ll ans=0;
ll mnn=0X3f3f3f3f;
for(int i=1;i<=cnt;i++)mnn=min(mnn,mn[i]);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
ans+=min(f[i][1]-mn[i]+(f[i][0]-1)*mn[i],f[i][1]+mn[i]+(f[i][0]+1)*mnn);
printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
n=read();memset(mn,0X3f,sizeof(mn));
for(int i=1;i<=n;i++)
{a[i]=read();b[i]=a[i];}
sort(b+1,b+1+n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{add(a[i],b[i]);add(b[i],a[i]);}
for(int i=1;i<=n;i++)if(!book[a[i]])++cnt,seek(a[i]);
solve();
return 0;
}
/*
3
2
3
1

7
*/