动态规划实例（三）：硬币找零方案

    问题：假设有m种面值不同的硬币，个个面值存于数组S ={S1，S2，… Sm}中，现在用这些硬币来找钱，各种硬币的使用个数不限。 求对于给定的钱数N，我们最多有几种不同的找钱方式。硬币的顺序并不重要。

    例如，对于N = 4，S = {1,2,3}，有四种方案：{1,1,1,1}，{1,1,2}，{2,2}，{1， 3}。所以输出应该是4。对于N = 10，S = {2,5, 3,6}，有五种解决办法：{2,2,2,2,2}，{2,2,3,3}，{2,2,6 }，{2,3,5}和{5,5}。所以输出应该是5。

    1）最优子结构

        要算总数的解决方案，我们可以把所有的一整套解决方案在两组 (其实这个方法在组合数学中经常用到，要么包含某个元素要么不包含，用于递推公式等等，)。

        1）解决方案不包含 第m种硬币（或Sm）。

        2）解决方案包含至少一个 第m种硬币。

    让数（S [] , M, N）是该函数来计算解的数目，则它可以表示为计数的总和（S [], M-1, N）和计数（S []，M，N-Sm）。

    因此，这个问题具有最优子结构性质的问题。

    2) 重叠子问题

    

具体实例及实现代码如下所示：

/**
* @Title: CoinChange.java
* @Package dynamicprogramming
* @Description: TODO
* @author peidong
* @date 2017-6-7 上午8:57:21
* @version V1.0
*/
package dynamicprogramming;

/**
* @ClassName: CoinChange
* @Description: 硬币找零
* @date 2017-6-7 上午8:57:21
*
*/

public class CoinChange {

/**
*
* @Title: coinChangRecursion
* @Description: 递归解决方案
* @param s  硬币集合
* @param m  硬币种类
* @param n  钱数额
* @return
* @return int
* @throws
*/
public static int coinChangRecursion(int[] s, int m, int n){
//边界条件判断
if(n == 0)
return 1;
if(n < 0)
return 0;
if(m <= 0)
return 0;
//递归
return coinChangRecursion(s, m - 1, n) + coinChangRecursion(s, m, n - s[m-1]);
}
/**
*
* @Title: coinChange
* @Description: 动态规划
* @param s  硬币数组
* @param m  硬币种类
* @param n  钱总数
* @return
* @return int
* @throws
*/
public static int coinChange(int[] s, int m, int n){
int res1, res2;
//初始化状态转移数组
int[][] tc = new int[n+1][m];

//初始化状态转移数组
for(int i = 0; i < m; i++){
tc[0][i] = 1;
}
for(int i = 1; i < n+1; i++){
for(int j = 0; j < m; j++){
//包含s[j]时的种类
res1 =  (i-s[j] >= 0)? tc[i - s[j]][j]: 0;

//不包含s[j]的方案
res2 = (j >= 1)?tc[i][j-1]:0;
tc[i][j] = res1 + res2;
}
}
return tc
[m-1];
}
/**
* @Title: main
* @Description: TODO
* @param args
* @return void
* @throws
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] arr = {1, 2, 3};
int m = arr.length;
int n = 4;

System.out.println("使用递归求解硬币找零方案数为：" + coinChangRecursion(arr, m, n) );
System.out.println("使用动态规划求解硬币找零方案数为：" + coinChange(arr, m, n));

}

}