平面几何基本知识——学习笔记(1)

这段时间也做了一些平面几何的题目，将一些基本的知识写一下，以免忘了（好草率的初衷）。

1.向量

向量的定义为既有方向，又有长度，且可以自由平移的线段（注意不是有向线段，有向线段不可以自由平移，因为具有起点）。

PS：程序实现中，我们经常把向量的起点移到(0,0)，然后用终点坐标(x,y)表示这个向量。

向量的定义：

struct data{
double x,y;
data (double x=0,double y=0):x(x),y(y){}//方便读入
};

2.向量的基本运算

这里就是几何运算和一些大小关系……

data operator + (const data a,const data b){return data(a.x+b.x,a.y+b.y);} //向量+向量 点+向量
data operator - (const data a,const data b){return data(a.x-b.x,a.y-b.y);} //点-点
data operator * (const data a,double b){return data(a.x*b,a.y*b);} //向量*点
data operator / (const data a,double b){return data(a.x/b,a.y/b);} //向量/点

bool operator < (const data a,const data b){
return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y);
}    //小于号一般定义在结构体里，要调用STL排序（sort）时更加方便。

const double eps=1e-10;   //这个是为了避免精度，eps的值随题目要求而定。
int dcmp(double x)
{
if (fabs(x)<eps) return 0;
return (x<0)?-1:1;
}
bool operator == (const data a,const data b){
return dcmp(a.x-b.x)==0&&dcmp(a.y-b.y==0);
}  //dcmp是比较差值的函数，减少精度误差。

3.叉积和点积

点积的几何定义是有两个向量a和b，则a和b的点积等于二者长度的乘积再乘上他们夹角的余弦。而点积的代数定义为xa*xb+ya*yb，利用这个可以直接求出两个向量之间的夹角：

double dot(const data a,const data b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}
double leng(const data x){return sqrt(dot(x,x));} //求向量长度
double angle(const data a,const data y){return acos(dot(a,b)/leng(a)/leng(b));}  //求夹角

叉积的几何定义是有两个向量a和b，则a和b的叉积等于两者长度的乘积再乘上他们夹角的正弦，而叉积的代数定义为xa*ya-xb*ya；其实两个向量叉积等于其组成的三角形有向面积的两倍。

double cross(const data a,const data b) {return a.x*b.y-a.y*b.x;}
double gets(const data a,const data b,const data c)
{
return cross(b-a,c-a)
}//求三角形有向面积。

4.用参数表示直线（射线、线段）

直线可以用直线上一点P0和方向向量v表示（注意重要的是v的x,y值之比，靠这个来推出直线的斜率，而v本身的大小基本无用）。直线上所有点P满足P=P0+tv，其中t为参数，可以用一种简便的方法求出任意两点（不是同一个）A和B的直线，P0=A,v=B-A,则参数方程为A+(B-A)t。这样写有一个极大的好处，就是可以用同一个参数方程来表示直线，射线和线段，唯一的不同在于取值范围，直线无限制，射线则t>0，线段则0<=t<=1。

5.两直线交点。

设两条直线（用参数方程表示）为a+tb和c+td，则需要求出交点分别在两条直线上的参数，设t1为交点在第一条直线的参数，t2为交点在第二条直线的参数，则x和y坐标可以列出一个方程，解得



代码如下：

data getp(data a,data b,data c,data d)
{
double t=cross(d,a-c)/cross(b,d);
return a+b*t;
}

6.点到直线（线段）距离

点到直线距离不难，有三个点p,a,b，则这三个点可以构成一个平行四边形，设向量b-a为底，那么点到直线距离就是平行四边形的面积除以底，代码如下：

double minLl(const data p,const data a,const data b){
data va=b-a,vb=p-a;
return fabs(cross(va,vb))/leng(va);//如果不取绝对值，叉积将得到有向面积。
}

点到线段距离比点到直线距离略复杂一点,首先求出点在线段所在直线上的距离，设这个点为q，然后判断q的位置，如果是在线段ab上，则所求距离为pq，如果在射线ab上，则所求距离为pb,否则所求距离为pa。至于判断点q的位置吗，可以通过点积进行。

代码如下

double minLs(const data p,const data a,const data b)
{
if (a==b) return leng(p-a);
data va=b-a,vb=p-a,vc=p-b;
if (dcmp(dot(va,vb))<0) return leng(vb);
else if (dcmp(dot(va,vc))>0) return leng(vc);
else return fabs(cross(va,vb))/leng(va);
}

备注：

由于作者fhj水平实在太菜，如本博客有错，请多多指出，谢谢！