母函数(在他人讲解的基础上添些自己的理解)
2017-06-14 10:40
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求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:
在这里每种是无限的。
以展开后的x^4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4;
即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数":
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。
整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数。
现在以上面每种种类个数无限为例,给出模板:(这里的模板其实不是上面这题的解答代码,解答代码需要改动一些数值)
我们来解释下上面标志的各个地方:(***********!!!重点!!!***********)
① 、首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x^2+..x^n)初始化,把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
② 、 i从2到n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的第二种母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。
(i代表的是第i个表达式,像上面所举的求3种邮票所能组成的数值的方案数,i应该是小于等于3,因为它只有3种邮票)
③、j 从0到n遍历,这里j就是(前面i個表达式累乘的表达式)里第j个变量,(这里感谢一下seagg朋友给我指出的错误,大家可以看下留言处的讨论)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3),j先指示的是1和x的系数,i=2执行完之后变为
(1+x+x^2+x^3)(1+x^3),这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。
(有关第3点,我觉得可以这么理解,我们是先固定j,变化k,j在这其实就是指第i-1个表达式中幂为j的那个数;而k则是原来第i个表达式中幂为k的数,如果你看懂了之前有关母函数的讲解,对于k每次增i应该也能理解。就拿原作者刚刚举的为例(1+x)(1+x^2)(1+x^3),(1+x)为第一个表达式,(1+x^2)是原来的第二个表达式,当j=0时,k变化,其实就是拿(1+x)中的1分别乘以(1+x^2)的1和x^2,最后得到(1+x+x^2+x^3)(1+x^3))
④ 、 k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。
⑤ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的。
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:
在这里每种是无限的。
以展开后的x^4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4;
即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数":
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。
整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数。
现在以上面每种种类个数无限为例,给出模板:(这里的模板其实不是上面这题的解答代码,解答代码需要改动一些数值)
#include <iostream> using namespace std; // Author: Tanky Woo // www.wutianqi.com const int _max = 10001; // c1是保存各项质量砝码可以组合的数目 // c2是中间量,保存每一次的情况 int c1[_max], c2[_max]; int main() { //int n,i,j,k; int nNum; // int i, j, k; while(cin >> nNum) { for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ① { c1[i] = 1; c2[i] = 0; } for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ② { for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③ for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④ { c2[j+k] += c1[j]; } for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤ { c1[j] = c2[j]; c2[j] = 0; } } cout << c1[nNum] << endl; } return 0; }
我们来解释下上面标志的各个地方:(***********!!!重点!!!***********)
① 、首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x^2+..x^n)初始化,把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
② 、 i从2到n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的第二种母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。
(i代表的是第i个表达式,像上面所举的求3种邮票所能组成的数值的方案数,i应该是小于等于3,因为它只有3种邮票)
③、j 从0到n遍历,这里j就是(前面i個表达式累乘的表达式)里第j个变量,(这里感谢一下seagg朋友给我指出的错误,大家可以看下留言处的讨论)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3),j先指示的是1和x的系数,i=2执行完之后变为
(1+x+x^2+x^3)(1+x^3),这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。
(有关第3点,我觉得可以这么理解,我们是先固定j,变化k,j在这其实就是指第i-1个表达式中幂为j的那个数;而k则是原来第i个表达式中幂为k的数,如果你看懂了之前有关母函数的讲解,对于k每次增i应该也能理解。就拿原作者刚刚举的为例(1+x)(1+x^2)(1+x^3),(1+x)为第一个表达式,(1+x^2)是原来的第二个表达式,当j=0时,k变化,其实就是拿(1+x)中的1分别乘以(1+x^2)的1和x^2,最后得到(1+x+x^2+x^3)(1+x^3))
④ 、 k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。
⑤ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的。
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