LeetCode 221 Maximal Square 题解

题意简述：给定一个由0和1组成的二维矩阵，找到其中只包含1的最大正方形。

输入：char类型二维矩阵matrix

输出：最大正方形的面积

示例：对于以下矩阵，所能找到的最大正方形用加粗表示，其面积为4。

1 0 1 0 0

1 0 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 0 1 0

题解：

采用动态规划，考虑求解以点(i,j)作为右下角所能找到的正方形最大边长。

边界情况是最上方的行和最左边的列，如果matrix[i][j]的值为0，则不存在这样的正方形，边长为0；如果为1，则边长为1（受边界影响无法再扩大正方形）。

dp(i,j)=matrix[i][j]−′0′ (当点位于左边界和上边界)

对于非边界情况，如果matrix[i][j]的值为0，则不存在这样的正方形，边长为0；如果为1，需要考虑正上方点(i-1,j)和正左方点(i,j-1)这两个点的最大边长，点(i,j)的最大边长受限于这两者更小的那个，有两种情况（(i-1,j)和(i,j-1)的最大正方形用蓝色实线框标出，(i,j)的最大正方形用红色虚线框标出）：



实际上两种情况可以合并，它们都是先求出更小的最大边长min(dp(i−1,j),dp(i,j−1))（记为temp），然后观察点(i-temp,j-temp)的值以决定这个边长temp是否可以+1。

temp=min(dp(i−1,j),dp(i,j−1))

当 matrix[i][j]==′0′, dp(i,j)=0

当 matrix[i][j]==′1′, dp(i,j)=temp+(matrix[i−temp][j−temp]−′0′))

由于dp(i,j)的值只依赖于正上方和正左方的值，所以可以在空间上进一步优化，dp可以用一维数组表示而非二维数组。dp的值使用第一行初始化，然后逐行求解dp，每处理一行后，如果dp的最大值与之前得到的最大值比较更大，就更新最大值。

对于非边界情况而且matrix[i][j]的值为1，新的状态转移方程是

temp=min(dp(j),dp(j−1))

dp(j)=temp+(matrix[i−temp][j−temp]−′0′)

算法的时间复杂度是O(m*n)（二维矩阵的规模），空间复杂度是O(n)。

class Solution {
public:
int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
if(matrix.size() == 0) return 0;
int row = matrix.size(), col = matrix[0].size();
int res = 0;
vector<int> dp(col, 0);

// first row
for(int i = 0;i < col;i++) dp[i] = matrix[0][i] - '0';
res = max(res, *max_element(dp.begin(), dp.end()));

// dp
for(int i = 1;i < row;i++) {
// first col
dp[0] = matrix[i][0] - '0';
// other cols
for(int j = 1;j < col;j++) {
if(matrix[i][j] == '1') {
int temp = min(dp[j], dp[j-1]);
dp[j] = temp + (matrix[i-temp][j-temp] - '0');
} else {
dp[j] = 0;
}
}
res = max(res, *max_element(dp.begin(), dp.end()));
}

return res * res;
}
};