51nod：数字1的数量（线性dp or 数位dp）

给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有正数，计算出其中出现所有1的个数。

例如：n = 12，包含了5个1。1,10,12共包含3个1，11包含2个1，总共5个1。

Input

输入N(1 <= N <= 10^9)

Output

输出包含1的个数

Input示例

12

Output示例

5

题目思路：

这道题数据这么大显然不能直接求得，想的时候一下子就想出来dp的方法（不过转移状态的时候，有个·地方是减一还是加一一直没搞清楚，想了挺久才搞清楚），但是没反映出来是dp，可能只是用到dp保存之前节点的值的概念，不过，没关系能想到dp的方法就好了，首先我们为什么会想到用dp，因为对于一个数，高位的数字1的数量是乘以低位数字的数量，比如538，加入前两位的数字1的数量是35，那么高位的数字1的数量就5*35了，这个很容易想到吧，然后我们自然就知道是用dp了，这样我们就很容易定义出状态dp[i]为i位数1的数量那么答案就是所有的dp[i]相加了，虽然状态很容易定义出来，状态转移也不难想出来，但是有一点细节需要考虑，就是我们转移状态的时候分为等于1和大于1的情况，大于一的时候我们是转移x*num[i-1]还是(x-1)num[i-1]呢一开始我以为是后者，wa的天昏地暗，脑子不够清醒，忘记自己的状态定义的是什么了，我们状态定义的是第i位数一的数量
比如321 dp[1]就是1~1的1的数量，dp【2】就是10~21的数量，dp【3】就是100~321的数量，那么这样的话我们就知道是x-1还是x了，显然是x的，因为这里dp【i-1】有一部分没有算到，就是21~100的部分，然后对于第i为300~321的也不好算，但是刚好和前面那部分相加起来就是一个num【i-1】所以是x，另外还要注意当前位是1的情况

num【i】代表1~1^i的一的数量

ac代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<sstream>
#include<map>
#include<cmath>
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int dp[20];
int num[20];
string s;
int main()
{
while(cin>>s)
{
int len = s.size();
reverse(s.begin(),s.end());
memset(num,0,sizeof(num));
memset(dp,0,sizeof(dp));
int last = 1;
for(int i = 0;i<len;i++ )
{
if(i==0)
{

dp[i] = s[i]=='0'?0:1;
num[i] = 1;
}
else
{
num[i] = num[i-1]*10+pow(10,i);
if(s[i]>'1')
{
dp[i] = (s[i]-'0')*num[i-1]+pow(10,i);
}
else if(s[i] == '1')
{
int tmp = 0;
for(int j = i-1 ;j>=0;j--)
tmp = tmp*10+(s[j]-'0');

dp[i] = num[i-1]+1+tmp;
}
}
}
int ans = 0;
for(int i = 0 ;i<len;i++)
{
// cout<<dp[i]<<endl;
ans+=dp[i];
}
cout<<ans<<endl;
}
}