第四届图灵杯A题 谷神的赌博游戏

问题 A: 谷神的赌博游戏

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题目描述

  NEUQ的谷神要和我赌一个游戏：谷神要求我随机在纸上写出整数集合{1,2,3，...,3n+1}（n是整数）的一个排列（即不重复的随机写出从1到3n+1的所有整数）。并且要求在我写的过程中，从我写的第一个数开始一直加到我正在写的数的总和不被3整除。如果我能写出来符合要求的一个排列，那么我就赢得游戏。那么问题来了，我赢得游戏的概率是多少？

输入

一组测试数据，第一行输入测试样例的数目k，接下来k行每行一个正整数n代表一个样例（1<=n<=15）。

输出

对于每个样例数据依次输出我赢得比赛的概率（结果保留小数点后9位有效数字）。

样例输入

1
1

样例输出

0.250000000

提示

例如n=1，则谷神要求我随机写1到4的排列，如果我按顺序写1 3 4 2则是合法的，因为1，1+3、1+3+4、1+3+4+2都不被3整除。如果我按顺序写1 2 3 4则是不合法的，因为当我写到2的时候1+2=3可以被3整除，不符合游戏规定。

【解析】：组合数学。

1 2 3 4 ...... ...  3n+1 这个序列，不妨全部模除3，不会影响题意的要求，这样就变成了

1 2 0 1 2 0 1 2 0 .........只含有1 2 0 三个数字。并且

1  有n+1个

2  有n个

0  有n个。

接下来只要把这些1 2 0 填在3n+1个位置上就行了。

这些数的总和是3n+1，即加到最后一个位置总和为3n+1

从1~3n+1，一共有n个3的倍数，想要不触碰到3的倍数，就要用2来跨过去，

这样正好用完了n个2；

还有n+1个1，其实正好填在剩余的位置上。

至于0，就可以随意插空了，因为他只会+0，不会影响总和。

以n=2时为例：



空位置有5个（即2n+1个），分别对应数轴的1 2 4 5 7；

把这5个可插位置摘出来。

插入一个0，有5种选择。同时空位变成6个。

再插入一个0，有6种选择。同理空位加1.

....

有n个0，插法的数目就是(2n+1)*(2n+2)*......*(2n+n)。

整理一下即为：(3n)! / (2n)! ;

综上所述，先对2全排列  A(n,n)

再对1全排列   A(n+1,n+1);

再对0插空：(3n)! / (2n)!；

上述相乘，除以总的全排列 A(3n+1,3n+1)

由于此题n最大为15，得出的公式中有(2n)!，会超过long long的存储。

所以此题应该用递推。

用第n项的公式，除以第n-1项。得到两项之比 (n+1)*(3n-2) /（2*(2n-1)*(3n+1)）

然后就可以从第一项递推了。（第一项f(1)=0.25）

【代码】：

#include<stdio.h>
int main()
{
double f[20];
f[1]=1/4.0;
for(int
c464
i=2;i<17;i++)
{
f[i]=f[i-1]*(i+1)*(3*i-2)/2/(2*i-1)/(3*i+1);
}
int T,n;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
printf("%.9lf\n",f
);
}
return 9;
}