bzoj3930 [CQOI2015]选数

Description

我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)
其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)
对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

正解：莫比乌斯反演+杜教筛。

看到$PoPoQQQ$设了两个函数，于是照着模仿，自己推了一下。。

设$f(k)$表示$[l,r]$中选数，$gcd=d$的方案数。

设$g(k)$表示$[l,r]$中选数，$d|gcd$的方案数，易知$g(k)=(\left \lfloor \frac{r}{k} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{l-1}{k} \right \rfloor)^{n}$。

因为$g(k)=\sum_{k|d}f(d)$，由莫比乌斯反演，$f(k)=\sum_{k|d} \mu(\frac{d}{k})g(i)$。

令$d=kQ$，$f(k)=\sum_{Q=1}^{\left \lfloor \frac{r}{k} \right \rfloor}\mu(Q)(\left \lfloor \frac{r}{kQ} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{l-1}{kQ} \right \rfloor)^{n}$。

此时我们可以把$l-1,r$同除以$k$，用杜教筛求出莫比乌斯函数的前缀和，然后数论分块就能计算出答案了。

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define rhl (1000000007)
#define N (3000010)
#define inf (1<<30)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

int mu
,vis
,prime
,n,k,l,r,cnt,maxn;
ll ans;

map <int,int> f,vi;

il int gi(){
RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return q*x;
}

il ll qpow(RG ll a,RG ll b){
RG ll ans=1;
while (b){
if (b&1) ans=ans*a%rhl;
a=a*a%rhl,b>>=1;
}
return ans;
}

il void sieve(){
mu[1]=1;
for (RG int i=2;i<=maxn;++i){
if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=rhl-1;
for (RG int j=1,k;j<=cnt;++j){
k=i*prime[j]; if (k>maxn) break; vis[k]=1;
if (i%prime[j]) mu[k]=rhl-mu[i]; else break;
}
}
for (RG int i=2;i<=maxn;++i){
mu[i]+=mu[i-1]; if (mu[i]>=rhl) mu[i]-=rhl;
}
return;
}

il ll du(RG int n){
if (n<=maxn) return mu
; if (vi
) return f
;
RG ll ans=1; RG int pos; vi
=1;
for (RG int i=2;i<=n;i=pos+1){
pos=n/(n/i),ans-=(ll)(pos-i+1)*du(n/i)%rhl;
if (ans<0) ans+=rhl;
}
return f
=ans;
}

il void work(){
n=gi(),k=gi(),l=(gi()-1)/k,r=gi()/k,maxn=min(3000000,r),sieve();
for (RG int q=1,p,pos;q<=r;q=pos+1){
p=l/q; if (!p) pos=r/(r/q); else pos=min(l/(l/q),r/(r/q));
(ans+=(du(pos)-du(q-1)+rhl)*qpow(r/q-l/q,n))%=rhl;
}
printf("%lld\n",ans); return;
}

int main(){
File("number");
work();
return 0;
}