最小费用购物问题

西安交大 软件53 蔡少斐

题号：3_14

题目叙述：

某商店中每种商品都有一个价格。例如，一朵花的价格是2 ICU(ICU 是信息学竞赛的货币的单位）;一个花瓶的价格是5 ICU。为了吸引更多的顾客，商店提供了特殊优惠价。

    特殊优惠商品是把一种或几种商品分成一组。并降价销售。例如:3朵花的价格不是6而是5 ICU ;2个花瓶加1朵花是10 ICU不是12 ICU。

    编一个程序，计算某个顾客所购商品应付的费用。要充分利用优惠价以使顾客付款最小。请注意，你不能变更顾客所购商品的种类及数量，即使增加某些商品会使付款总数减小也不允许你作出任何变更。假定各种商品价格用优惠价如上所述，并且某顾客购买物品为:3朵花和2个花瓶。那么顾客应付款为14ICU因为:

        1朵花加2个花瓶: 优惠价:10  ICU

        2朵花           正常价: 4 ICU

输入数据

    用两个文件表示输入数据。第一个文件INPUT．TXT描述顾客所购物品（放在购物筐中）;第二个文件描述商店提供的优惠商品及价格（文件名为OFFER．TXT）。 两个文件中都只用整数。

    第一个文件INPUT．TXT的格式为:第一行是一个数字B（0≤B≤5），表示所购商品种类数。下面共B行，每行中含3个数C，K，P。C 代表商品的编码（每种商品有一个唯一的编码），1≤C≤999。K代表该种商品购买总数，1≤K≤5。P 是该种商品的正常单价（每件商品的价格），1≤P≤999。请注意，购物筐中最多可放5*5＝25件商品。

第二个文件OFFER．TXT的格式为:第一行是一个数字S（0≤S≤99），表示共有S种优惠。下面共S行，每一行描述一种优惠商品的组合中商品的种类。下面接着是几个数字对（C，K），其中C代表商品编码，1≤C≤9 99。K代表该种商品在此组合中的数量，1≤K≤5。本行最后一个数字P（1≤P≤9999）代表此商品组合的优惠价。当然，优惠价要低于该组合中商品正常价之总和。

输出数据

在输出文件OUTPUT．TXT中写一个数字（占一行）， 该数字表示顾客所购商品（输入文件指明所购商品）应付的最低货款。

题目解答：

本题应该采用动态规划的方法进行设计，定义本题的最优子结构以及状态为一个五元组：dp[x1][x2][x3][x4][x5]，其中x1代表要买的第一种物品的个数，x2代表要买的第二种物品的个数、以此类推。由于题目保证了B<=5，因此5元组绝对够用。

我们用一个std::vector来存储每套组合方案的捆绑的种类以及该种类需要购买的数量。

下面我们假定，不需要的物品一个都不能买，需要的物品也不能够多买。

要列出该5元组的状态转移方程，其中优惠集合记为S。

.

在代码实现的时候采用了备忘录技术。

代码表示：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int, int> P;
const int MAX = 6;
const int INF = 1e9;
int map[1000];
int n, m;
int ids[MAX];
int price[MAX];
int nums[MAX];
vector<P> pairs[100];
int pP[100];
int pcnt = 0;
int dp[MAX][MAX][MAX][MAX][MAX];
int times = 0;
int dfs( int* x )
{
times++;
int r = dp[x[0]][x[1]][x[2]][x[3]][x[4]];
if ( r > 0 )
{
return(r);
}
if ( x[0] == 0 && x[1] == 0 && x[2] == 0 && x[3] == 0 && x[4] == 0 )
{
return(0);
}
int minf = INF;
for ( int i = 0; i < pcnt; i++ )
{
vector<P> & vec = pairs[i];
int f = 1;
int *y = new int[5];
for ( int t = 0; t < 5; t++ )
y[t] = 0;
for ( auto p : vec )
{
int id = map[p.first];
int num = p.second;
if ( x[id] < num )
{
f = 0; break;
}
y[id] = -num;
}
if ( !f )
continue;
for ( int k = 0; k < 5; k++ )
y[k] += x[k];
minf = min( minf, pP[i] + dfs( y ) );
}
int s = 0;
for ( int i = 0; i < 5; i++ )
{
s += x[i] * price[i];
}
minf = min( minf, s );
return(dp[x[0]][x[1]][x[2]][x[3]][x[4]] = minf);
}

int main()
{
cin >> n;
for ( int i = 0; i < n; i++ )
{
int C, K, PP;
cin >> C >> K >> PP;
ids[i] = C;
nums[i] = K;
price[i] = PP;
if ( !map[C] )
{
map[C] = i;
}
}
cin >> m;
for ( int i = 0; i < m; i++ )
{
int k; cin >> k;
vector<P> v;
int f = 1;
for ( int j = 0; j < k; j++ )
{
int a, b; cin >> a >> b;
v.push_back( make_pair( a, b ) );
}
int PP;
cin >> PP;
if ( f )
{
pairs[pcnt] = v;
pP[pcnt++] = PP;
}
}
cout << "答案:" << dfs( nums ) << endl;
cout << "运行次数:" << times << endl;
return(0);
}
运行结果：