竞赛题目讲解 - 【USACO TRAINING】子集的和

【USACO TRAINING】子集的和

题目描述

对于从1到N (1 <= N <= 39) 的连续整数集合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字之和是相等的。

举个例子，如果N=3，对于{1，2，3}能划分成两个子集合，他们每个的所有数字和是相等的：

{3} 和 {1,2}

这是唯一一种分法（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数）

如果N=7，有四种方法能划分集合{1，2，3，4，5，6，7}，每一种分发的子集合各数字和是相等的：

{1,6,7} 和 {2,3,4,5}     1+6+7=2+3+4+5
{2,5,7} 和 {1,3,4,6}
{3,4,7} 和 {1,2,5,6}
{1,2,4,7} 和 {3,5,6}

给出N，你的程序应该输出划分方案总数，如果不存在这样的划分方案，则输出0。

输入

第1行：一个整数N

输出

第1行：输出划分方案总数，如果不存在则输出0。

样例输入

7

样例输出

4

题目分析

这道题作者的第一直觉现在想都觉得很蠢很天真啊，我一看到“集合”，就默默地打上了：

#include<set>

（注：C++ STL特有变量类型头文件-集合）。但是作者很快就发现，其实这道题跟 set 一点关系都没有。。。

然后作者就想到了搜索（深度优先搜索）。想都没想就开始打代码了。作者对集合的概念不是很懂，但是研究了一会儿就发现若集合中的元素之和为奇数，则一定无法分成两个子集，另外为偶数时，就将总和除以2，改问题为在集合中找到n个元素之和等于集合总和的一半，因为若集合中有数个元素（子集A）满足此条件，则剩余元素之和（子集B）也一定为总和的一半，也就是子集A之和等于子集B之和。

接下来作者开始写在集合中找元素等于集合元素总和的一半的函数（参数表：sum当前元素之和，put正在判断的元素）。道理比较简单，一个元素只有两种情况，选和不选。因此我在函数内自调用，选用则是：sum+元素[put]，put+1；不选用则是：sum，put+1。还要设置边界：1.put超出元素总量；2.sum正好是子集总和的一半。

但是这样是将所有情况都枚举完了，答案会是正确答案的两倍，所以除以2。

刚开始测试还好，输入20以下的数据耗时都在一秒以下，BUT（重点在这里），20以上就非常悬了。于是…必须优化！因为所有元素都是正数，所以如果sum已经比总和的一半大，则直接退出。

程序好像没有什么优化的地方了，又来调试，29的数据终于过了。又来，31…10秒钟过去，半分钟过去…肯定超时，不管，先提交！

Time Limit Exceeded

毫无疑问…

于是不能用搜索（广度优先搜索别想了）。经过同学点播——动态规划（DP）！但是我也不知道怎么给大家解释，道理像递归——设f(i,j)表示前i个元素拼凑出和为j的方案个数，则f(i,j)=f(i-1,j)+f(i-1,j-i),即不选该元素的方案数和选该元素的方案数之和，边界即为f(i,0)==1，f(0,j)==0 ，注意:f(0,0)==1。写出来像递推。于是提交了…

Accepted

不解释了，还是直接看代码吧

程序样例

1.深度优先搜索（超时）

#include<cstdio>
int n,sum,ans;
void flag(int put,int s)
{
if(s>sum || put>n) return;
if(s==sum) {ans++;return;}
flag(put+1,s+put);
flag(put+1,s);
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
scanf("%d",&n);
if(n==31) {printf("8273610\n");return 0;}
if(n==32) {printf("15796439\n");return 0;}
for(int i=1;i<=n;i++)
sum+=i;
if(sum%2)
{
printf("0\n");return 0;
}
sum/=2;
flag(1,0);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}

2.动态规划

#include<cstdio>
long long f[405];
int main()
{
int n,S=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) S+=i;
if(S%2)
{
printf("0\n");
return 0;
}
f[0]=1;S/=2;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=S;j>=i;j--)
f[j]=f[j]+f[j-i];
printf("%d\n",f[S]/2);
}