陈越《数据结构》第一讲 基本概念

陈越《数据结构》第一讲 基本概念

1什么是数据结构

1.1 引子

例子：如何在书架上摆放图书？

随便放；

按照书名的拼音字母顺序排放；

把书架划分成几块区域，每块区域指定摆放某种类别的图书；在每种类别内，按照书名的拼音字母顺序排放。

解决问题方法的效率，跟数据的组织方式有关。

例2：写程序实现一个函数PrintN，使得传入一个正整数为N的参数后，能顺序打印从1到N的全部正整数。

循环实现；

递归实现。//数值从10到106

解决问题方法的效率，跟空间的利用效率有关。

例3：写程序计算给定多项式在给定点x处的值。

利用 p+=(a[i]∗pow(x,i));进行计算；

秦九韶利用 p=a[i−1]+x∗p;进行计算；

用 time.h中的常数CLK_TCK，clock_t start, stop;计算时间。

解决问题方法的效率，跟算法的巧妙程度有关。

即：解决问题方法的效率，跟数据的组织方式、跟空间的利用效率和跟算法的巧妙程度有关。

数据结构是：

1. 数据对象 在计算机中的组织方式(逻辑结构、物理存储结构)；

2.数据对象必定与一系列加在其上的 操作相关联；

3.完成这些操作所用的方法就是算法。

1.2 抽象数据类型

数据结构

- 数据对象在计算机中的组织方式(逻辑结构、物理存储结构)；

-数据对象操作的关联关系；

-数据对象的最高效算法。

抽象数据类型

数据类型

- 数据对象集;

- 数据集合相关联的操作集。

抽象(描述数据类型的方法不依赖于具体实现)

- 与存放数据的机器无关;

- 与数据存储的物理结构无关;

- 与实现操作的算法和编程语言均无关。

2. 什么是算法

算法（Algorithm）定义：

1. 一个有限指令集;

2. 接受一些输入（有些情况下不需要输入）;

3. 产生输出(必须);

4. 一定在有限步骤之后终止；

5. 每一条指令必须：

- 有充分明确的目标，不可以有歧义；

- 计算机能处理的范围之内；

- 描述应不依赖于任何一种计算机语言以及具体的实现手段。

2.1什么是好的算法？

空间复杂度S(n) 占用存储单元的长度。

时间复杂度T(n) 耗费时间的长度。

在例3中，第一种方法的时间复杂度是T(n)=C1n2+C2n；秦九韶的时间复杂度是T(n)=C.n。

在分析一般算法的效率时，我们经常关注下面

两种复杂度：

-最坏情况复杂度Tworst(n);

-平均复杂度Tavg(n)。

其中我们最关心最坏情况复杂度。

2.2 一些基本概念

复杂度的渐进表示法

-T(n)=O(f(n))上界；

-T(n)=Ω(g(n))下界；

-T(n)=Θ(h(n));Θ(h(n))=O(f(n))，Θ(h(n))=Ω(g(n))。

我们写O(f(n))时，是写最小上界，写Ω(g(n)时，是写最大下界，这样才有意义。



复杂度的渐进表示法

若两段算法分别有复杂度T1(n)=O(f1(n))和T2(n)=O(f2(n))，则:

-T1(n)+T2(n)=max(O(f1(n)),O(f2(n)));

-T1(n)∗T2(n)=O(f1(n)∗f2(n))。

若T(n)是关于n的k阶多项式，那么T(n)=Θ(nk);

一个for循环的时间复杂度等于循环次数乘以循环体代码的复杂度；

if−else结构的复杂度取决于if的条件判断复杂度和两个分枝部分的复杂度，总体复杂度取三者中最大；

O(n2)复杂度的算法本能的优化为O(nlogn)。

3.应用实例：最大子列和问题

应用实例：最大子列和问题

//01 - 复杂度1 最大子列和问题(20分)
//例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。
//
//本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：
//
//数据1：与样例等价，测试基本正确性；
//数据2：10^2个随机整数；
//数据3：10^3个随机整数；
//数据4：10^4个随机整数；
//数据5：10^5个随机整数；
//输入格式 :
//
//输入第1行给出正整数KK(\le 100000≤100000)；第2行给出KK个整数，其间以空格分隔。
//
//输出格式 :
//
//在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。
//
//输入样例 :
//
//6
//- 2 11 - 4 13 - 5 - 2
//输出样例 :
//
//   20

解决方法:

1. 时间复杂度为T(N)=O(N3);

2. 时间复杂度为T(N)=O(N2);

3. 时间复杂度为T(N)=O(NlogN);（分而治之）

4. 时间复杂度为T(N)=O(N)。（在线处理）

分而治之的代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#define MAXN 100000
int arr[MAXN + 10];

int maxThree(int a,int b,int c);
int maxSubSeq(int arr[],int low,int height);
int maxSubSeq1(int arr[],int n);
int main()
{
int i, n;

scanf("%d", &n);
for(i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &arr[i]);
printf("%d\n", maxSubSeq(arr, 0, n-1));
system("pause");
return 0;
}
int maxSubSeq1(int arr[],int n)
{
int i = 0, iThisSum = 0, iMaxSum = 0;
for(i = 0; i < n; i++)
{
iThisSum += arr[i];
if(iThisSum > iMaxSum) iMaxSum = iThisSum;
else if(iThisSum < 0) iThisSum = 0;
}
return iMaxSum;
}
int maxSubSeq(int arr[], int low, int height)
{
int i = 0, iMid = 0, iThisSum = 0, iLeftMax = 0, iRightMax = 0, iLeftMaxSum = 0, iRightMaxSum = 0;
if(low >= height) return arr[low];
iMid = (low + height)/2;
iLeftMax = maxSubSeq(arr,low,iMid);//左边最大
iRightMax = maxSubSeq(arr,(iMid+1),height);//右边最大
//中间（跨越）最大
iThisSum = iLeftMaxSum = 0;
for(i = iMid ; i >low ; i-- )
{
iThisSum += arr[i];
if(iThisSum > iLeftMaxSum) iLeftMaxSum = iThisSum;
}
iThisSum = iRightMaxSum = 0;
for(i = iMid ; i <height ; i++)
{
iThisSum += arr[i];
if(iThisSum > iRightMaxSum) iRightMaxSum = iThisSum;
}

return maxThree(iLeftMax , iRightMax, (iRightMaxSum + iLeftMaxSum));

}
int maxThree(int a,int b,int c)
{
int max = a;
if(b > max) max = b;
if(c > max) max = c;
return max;
}