最优二叉查找树详解（算法导论学习笔记）

代码均未经过严格测试，仅供参考

最优二叉查找树

动态规划原理

动态规划与分治法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题。

动态规划通常是用来求解最优化问题（optimization problem）.这类问题可以有很多个可行解，每个解都有一个值，我们希望寻找最优值（最大值或者最小值）的解。我们称这样的解为问题的一个最优解（oneoptimization solution）而不是最优解（theoptimization solution），因为可能有多个解都达到最优值。

通常按照如下四个步骤来设计一个动态规划算法：

刻画一个最优解的结构特征；

递归地定义最优解的值；

计算最优解的值，通常采用自底向上的方法；

利用计算出的线性构造一个最优解。

基本概念

平均查找长度ASL——查找方法时效的度量：为确定记录在查找表中的位置，需将关键字和给定值比较次数的期望值。

查找成功时的ASL计算方法：ASL=∑ni=0Pi∗Ci

n：记录的个数

pi：查找第i个记录的概率

( 不特别声明时认为等概率 pi =1/n )

ci：找到第i个记录所需的比较次数

约定：无特殊说明，一般默认关键字的类型为整型

ASLs：(查找成功的的平均查找长度)

ASLf：(查找失败的平均查找长度)

关于静态最优查找树

定义：查找性能最佳的判定树。

性质：带权内路径长度之和PH为最小值。

PH=∑ni=1(Wi∗Hi) 与ASLs成正比

其中n：二叉树上结点的个数(有序表长度)

Hi：第i个结点在二叉树上的层次数

Wi=c*pi：c为某个常量；

pi：第i个结点的查找概率

问题描述

给定n个不同关键字的已经排序的序列k1,k2,k3...kn我们希望用这些关键字构造一颗二叉搜索树，对每个关键字都有一个概率p表示其搜索频率。有些要搜索的值可能不在K中，因此我们还有n+1个”伪关键字”d0,d1,d2...dn其中d0表示所有小于k1的值，dn表示所有大于kn的值，对于i=1,2,3,4...n−1,di表示所有在ki到ki+1之间的值。对每个伪关键字di也都一个概率qi表示对应的搜索频率。每个关键字ki是一个内部节点，每一个关键字di表示一个叶节点。有∑ni=1pi+∑ni−1qi=1

最优查找体现的原则：

1）最先访问的结点应是访问概率最大的结点；

2）每次访问应使结点两边尚未访问的结点的被访概率之和尽可能相等。

关于次优查找树

PH值近似为最小

比静态最优查找树易于构造，时间开销少

首先按照权值升序排列，每一次选择一个，右边所有节点权值相加和减去左边节点权值相加和 最小的节点作为根节点，然后以左边节点作为左子树，右边节点作为右子树，分别构造其次优查找树。

复杂度分析以及可能的优化

很显然由于需要枚举区间长度，区间端点以及根节点。所以算法复杂度为O(n3)

递推式的形式为dp[i][j]=min(dp[i][r−1]+dp[r+1][j]+sum[i][j])

可以考虑用四边形不等式优化。

算法实现

次优查找树的实现非常简单，一个数组存储每个节点的权值。计算前缀和，找到差值最大的点作为根节点后。递归构造左子树和右子树的次优查找树。

我们来尝试使用动态规划算法构造最优查找树

double p[MAXN];//用来记录每一个节点的查找概率
double q[MAXN];//用来记录伪关键字的搜索概率
double dp[MAXN][MAXN];//dp[i][j]表示从节点i到节点j构成的最优查找树的PH值的最小值
int root[MAXN][MAXN];//root[i][j]表示从节点i到节点j构成的最优查找树的根节点
double sum[MAXN][MAXN];//sum[i][j]表示区间i到j的的区间概率和

//伪代码如下
for(int 子树大小 len=1;len<=n;len++){
for(int 子树起点 i=1;i<n-len+1;i++){
int 子树的终点则为j=i+len-1
然后试图用每个节点作为根节点，找到使得总代价最小的一个
总代价为左右子树的代价相加+区间的概率和。因为每一个节点都往下移了一层
for(int r=i;r<=j;r++){
dp[i][j]=min(dp[i][r-1]+dp[r+1][j]+sum[i][j]);
并更新对应的根节点的值
}
}
}

记录了每个区间的PH值和根节点之后，再递归还原出整课最优查找树即可。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;

#define _ sync_with_stdio(false)
typedef long long ll;
const int MAXN=1000+10;
const double INF=1e9+7;

int n;//节点总个数
double p[MAXN];//用来记录每一个节点的查找概率
double q[MAXN];//用来记录伪关键字的搜索概率
double dp[MAXN][MAXN];//dp[i][j]表示从节点i到节点j构成的最优查找树的PH值的最小值
int root[MAXN][MAXN];//root[i][j]表示从节点i到节点j构成的最优查找树的根节点
double sum[MAXN][MAXN];//sum[i][j]表示区间i到j的的区间概率和

void solve(){
for(int len=1;len<=n;len++){
for(int i=1;i<=n-len+1;i++){
int j=i+len-1;
dp[i][j]=INF;
for(int r=i;r<=j;r++){
double temp;
temp=dp[i][r-1]+dp[r+1][j]+sum[i][j];
if(temp<dp[i][j]){
root[i][j]=r;
dp[i][j]=temp;
}
}
}
}
}

void init(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=n;j++){
if(j==i-1){
sum[i][j]=q[i-1];
dp[i][j]=q[i-1];
}
else if(j>=i){
sum[i][j]=sum[i][j-1]+p[j]+q[j];
if(i==j){
//dp[i][j]=p[i]+q[i-1]+q[i];
root[i][j]=i;
}
dp[i][j]=0;
}else{
sum[i][j]=0;
dp[i][j]=0;
}
}
}
sum[n+1]
=dp[n+1]
=q
;

}

void dfs(int l,int r){
if(l>r){
cout<<"{}";
return;
}
cout<<root[l][r];
int Root=root[l][r];
cout<<"{";
dfs(l,Root-1);
cout<<",";
dfs(Root+1,r);
cout<<"}";
return;
}

int main(){
freopen("in.txt", "r", stdin);
cout<<"请输入待查找关键字的数量:"<<endl;
cin>>n;
cout<<"请输入"<<n<<"个待查找关键字的搜索频率:"<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>p[i];
}
cout<<"请输入"<<n+1<<"个伪关键字的搜索频率:"<<endl;
for(int i=0;i<=n;i++){
cin>>q[i];
}
init();
solve();
cout<<"最小PH值为:"<<dp[1]
<<endl<<"最优查找树构造如下:"<<endl;
dfs(1,n);
return 0;
}