计蒜客 商汤科技的行人检测（困难）（计算几何 atan2库函数计算角度）@

商汤科技近日推出的 SenseVideo 能够对视频监控中的对象进行识别与分析，包括行人检测等。在行人检测问题中，最重要的就是对行人移动的检测。由于往往是在视频监控数据中检测行人，我们将图像上的行人抽象为二维平面上若干个的点。那么，行人的移动就相当于二维平面上的变换。
在这道题中，我们将行人的移动过程抽象为 旋转、伸缩、平移，有 44 个 移动参数：\theta,
scale, d_x,d_yθ,scale,d​x​​,d​y​​。每次行人的移动过程会将行人对应的 nn 个点全部依次应用旋转、伸缩、平移，对于平移前的点 (x,
y)(x,y)，进行每种操作后的坐标如下：

旋转后的坐标为：(x
\cos\theta - y \sin\theta, x \sin\theta + y \cos\theta)(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)；
伸缩后的坐标为：(x
\times scale, y \times scale)(x×scale,y×scale)；
平移后的坐标为：(x
+ d_x, y + d_y)(x+d​x​​,y+d​y​​)。
由于行人移动的特殊性，我们可以确保 0
< scale \le 100<scale≤10。和简单版本不同的是，这道题处理的坐标为浮点数而非整数。

很显然，通过变换前后的正确坐标，很容易算出行人的移动参数，但问题没有这么简单。由于行人实际的移动并不会完全按照我们预想的方式进行，因此，会有一部分变换后的坐标结果不正确，但可以确保 结果不正确的坐标数量严格不超过一半。

你现在作为商汤科技的实习生，接手了这个有趣的挑战：算出行人的移动参数。如果不存在一组合法的移动参数，则随意输出一组参数；如果有多种合法的移动参数，输出其中任意一组合法的即可。

输入格式

第一行输入一个整数 nn，表示行人抽象出的点数。

接下来 nn 行，每行 44 个 浮点数。前两个数表示平移前的坐标，后两个数表示平移后的坐标。

坐标范围在 -10^9−10​9​​ 到 10^910​9​​ 之间，输入的坐标都保留到 66 位小数。

对于中等版本，1
\le n \le 5001≤n≤500；

对于困难版本，1
\le n \le 10^{5}1≤n≤10​5​​。

输出格式

第一行输出一个浮点数 \thetaθ，第二行输出一个浮点数 scalescale，第三行输出两个浮点数 d_x,d_yd​x​​,d​y​​。

建议输出保留到 1010 位小数或以上。我们会按照 10^{-3}10​−3​​ 的精度判断是否有超过一半的点变换后的坐标重合。

样例输入

5
0 0 -1 1
0 1 -2 1
1 0 -1 2
1 1 0 0
2 1 1 0

样例输出

1.5707963268
1
-1 1

困难版本题解

在困难版本中，点对数 n 从 100 升级到了 100000。其算法本质并没有发生改变，依然是枚举两对点，然后验证。但是其枚举顺序，必须从按顺序枚举，改为随机枚举，以避免最坏复杂度。注意到错误的点对数严格不超过一半，因此我们有超过 1/4 的概率，枚举到的两对点就是正确的。对应的，枚举一次失败的概率就不足 3/4。这意味着：随机枚举 10 次，失败的概率不足 5.6%；随机枚举 20 次，失败的概率不足 0.3%；随机枚举 50 次，失败的概率不足 0.00005%。所以，只需要常数次枚举，基本可以保证找到答案。时间复杂度
O(n)。

注意每次坐标变换，先旋转再伸缩再平移，随机化枚举俩个点对处理伸缩的k值，计算两个点对的参数差值，再暴力枚举是否满足条件

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
const int N = 1e5+10;
const double eps=1e-4;
struct node
{
double x, y, ang, k;
} tmp,a
, b
;
int n;
node operator -(node A,node B)
{
return (node)
{
A.x-B.x,A.y-B.y
};
}
bool operator ==(node A,node B)
{
return fabs(A.x-B.x)<eps&&fabs(A.y-B.y)<eps;
}
double angle(node A)
{
return atan2(A.y,A.x);
}
double dist(node A,node B)
{
return sqrt((A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y));
}
int cal()
{
int cnt=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
node now;
now.x=a[i].x*cos(tmp.ang)-a[i].y*sin(tmp.ang);
now.y=a[i].x*sin(tmp.ang)+a[i].y*cos(tmp.ang);
now.x=now.x*tmp.k+tmp.x,now.y=now.y*tmp.k+tmp.y;
if(now==b[i]) continue;
cnt++;
if(cnt>n/2) return 0;
}
return 1;
}
int judge(int l1,int l2)
{
tmp.ang=angle(b[l2]-b[l1])-angle(a[l2]-a[l1]);
tmp.k=dist(b[l2],b[l1])/dist(a[l2],a[l1]);
node now;
now.x=a[l2].x*cos(tmp.ang)-a[l2].y*sin(tmp.ang);
now.y=a[l2].x*sin(tmp.ang)+a[l2].y*cos(tmp.ang);
tmp.x=b[l2].x-now.x*tmp.k,tmp.y=b[l2].y-now.y*tmp.k;
return cal();
}

int main()
{

scanf("%d", &n);
for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%lf %lf %lf %lf",&a[i].x,&a[i].y,&b[i].x,&b[i].y);
if(n==1)
{
printf("%.10f\n%.10f\n%.10f %.10f\n",(double)0,(double)1,b[1].x-a[1].x,b[1].y-a[1].y);
return 0;
}
for(int t=20; t>=0; t--)
{
int x=rand()%n+1,y=rand()%n+1;
while(x==y)y=rand()%n+1;
if(judge(x,y)) break;
}
printf("%.10f\n%.10f\n%.10f %.10f\n",tmp.ang,tmp.k,tmp.x,tmp.y);
return 0;
}

在C语言的math.h或C++中的cmath中有两个求反正切的函数atan(double x)与atan2(double y,double x)  他们返回的值是弧度 要转化为角度再自己处理下。

前者接受的是一个正切值（直线的斜率）得到夹角，但是由于正切的规律性本可以有两个角度的但它却只返回一个，因为atan的值域是从-90~90 也就是它只处理一四象限，所以一般不用它。

第二个atan2(double y,double x) 其中y代表已知点的Y坐标 同理x ,返回值是此点与远点连线与x轴正方向的夹角，这样它就可以处理四个象限的任意情况了，它的值域相应的也就是-180~180了

例如：

例1：斜率是1的直线的夹角

cout<<atan(1.0)*180/PI;//45°

cout<<atan2(1.0,1.0)*180/PI;//45° 第一象限

cout<<atan2(-1.0,-1.0)*180/PI;//-135°第三象限

后两个斜率都是1 但是atan只能求出一个45°

例2：斜率是-1的直线的角度

cout<<atan(-1.0)*180/PI;//-45°

cout<<atan2(-1.0,1.0)*180/PI;//-45° y为负 在第四象限

cout<<atan2(1.0,-1.0)*180/PI;//135° x为负 在第二象限

 

常用的不是求过原点的直线的夹角 往往是求一个线段的夹角 这对于atan2就更是如鱼得水了

例如求A(1.0,1.0) B(3.0,3.0)这个线段AB与x轴正方向的夹角

用atan2表示为 atan2(y2-y1,x2-x1) 即 atan2(3.0-1.0,3.0-1.0)

它的原理就相当于把A点平移到原点B点相应变成B'（x2-x1,y2-y1）点 这样就又回到先前了

例三：

A(0.0,5.0) B(5.0,10.0)

线段AB的夹角为

cout<<atan2(5.0,5.0)*180/PI;//45°

 atan 和 atan2 都是求反正切函数，如：有两个点 point(x1,y1), 和 point(x2,y2);

那么这两个点形成的斜率的角度计算方法分别是：

float angle = atan( (y2-y1)/(x2-x1) );

或

float angle = atan2( y2-y1, x2-x1 );

 

 atan 和 atan2 区别：

1：参数的填写方式不同；

2：atan2 的优点在于 如果 x2-x1等于0 依然可以计算，但是atan函数就会导致程序出错；

 

结论： atan 和 atan2函数，建议用 atan2函数；