BZOJ4818: [Sdoi2017]序列计数

BZOJ4818

容斥一下，变成任取不超过m的n个数且和为p的倍数的方案数-任取不超过m的n个合数且和为p的倍数的方案数。

令fi,j表示i个数，模p=j的方案数。

容易写出方程：

for(i=1……n)

for(j=0……p−1)

for(k=1……m)

fi,(j+k)Mod p+=fi−1,j

复杂度上显然不允许

发现m其实并没有太大用，有用的是每个数Mod m的值。

那么就用numi记录，所有数中Mod p为i的个数。

然后就可以优化成O(n∗p)的dp

for(i=1……n)

for(j=0……p−1)

fi,(j+p)Mod p+=nump∗fi−1,j

复杂度还是太高了。

然后发现这个其实是一个线性齐次递推式。可以矩乘优化嘛。

线性筛素数的标记数组NotPrime要开成bool的。。开成intCE了两次。。

然后O(m+p3∗logn)28s给卡过去了。。可能是我打得太丑了dsy垫底QAQ

好像还可以再快一点。管他的。。A了就行了。。

【代码】

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <bitset>
#define N 20000005
#define Mod 20170408
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;
typedef long long ll;

ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}

int n,m,mod,ans;
int p[1270610],num[105];bool Not_Prime
={1,1};

class Matrix{
public:
int x,y;
int v[105][105];
}a,b;

Matrix New(int x)
{
Matrix rtn;rtn.x=mod,rtn.y=mod;
for(int i=1;i<=mod;i++)
for(int j=1;j<=mod;j++) rtn.v[i][j]=(i==j)?x:0;
return rtn;
}

void Get_Prime()
{
num[1]=1;
for(register int i=2;i<=m;i++) {
if(!Not_Prime[i]) p[++p[0]]=i;
for(register int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=m;j++) {
Not_Prime[i*p[j]]=1;num[(i*p[j])%mod]++;
if(i%p[j]==0) break;
}
}
}

Matrix operator *(Matrix A,Matrix B){
Matrix rtn=New(0);
for(int i=1;i<=A.x;i++)
for(int j=1;j<=B.y;j++)
for(int k=1;k<=A.y;k++)
rtn.v[i][j]=(rtn.v[i][j]+1LL*A.v[i][k]*B.v[k][j]%Mod)%Mod;
return rtn;
}

Matrix Qpow(Matrix X,int y)
{
Matrix rtn=New(1);
while(y) {
if(y&1) rtn=rtn*X;
X=X*X;y>>=1;
}
return rtn;
}

int Get_Ans()
{
a.x=1;a.y=b.x=b.y=mod;
for(int i=1;i<=mod;i++)
for(int j=1;j<=mod;j++)
b.v[i][j]=num[(i-j+mod)%mod];
a.v[1][1]=1;for(int i=2;i<=mod;i++) a.v[1][i]=0;
a=a*Qpow(b,n);
return a.v[1][1];
}

int main()
{
n=read(),m=read(),mod=read();
for(register int i=1;i<=m;i++) num[i%mod]++;
ans+=Get_Ans();
for(int i=0;i<mod;i++) num[i]=0;
Get_Prime();
ans-=Get_Ans();
printf("%d\n",(ans+Mod)%Mod);
return 0;
}