动态规划---实现输出最大公共子序列的长度以及输出最大子字符串（java语言描述）

参考博客地址：http://blog.csdn.NET/biangren/article/details/8038605
http://blog.csdn.net/njr465167967/article/details/51675424

动态规划法

       分治法是指将问题划分成一些独立的子问题，递归地求解各子问题，然后合并子问题的解而得到原问题的解。然而经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题，也就是各子问题包含公共的子子问题。若简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。动态规划方法对每个子子问题只求解一次，将其结果保存在一张表中，从【问题】
求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，意味着“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，意味着“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

       这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。而避免每次遇到各个子问题时重新计算答案。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。

我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：



回溯输出最长公共子序列过程：



算法分析：

       由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m +n)。

Java实现代码如下：

package com.hbut.test;

/**
* Created by HP on 2017/6/6.
*/
public class LCS {

public static void main(String[] args) {
String str1 = "ABCBDAB";
String str2 = "BDCABA";

System.out.println(getMaxSubstringLen(str1, str2));
int[][] b = getTrace(str1, str2);
String sMax = str1.length() > str2.length() ? str1 : str2; // 选择最长的串，因为要取出最大子串
String sMin = str1.length() < str2.length() ? str1 : str2; // 选择最小的串
print(b, sMax, sMax.length(), sMin.length());
}

public static int getMaxSubstringLen(String x, String y) {
int xLen = x.length() + 1;                  //加1是因为初始化第一个为0
int yLen = y.length() + 1;

int rLen = xLen > yLen ? xLen : yLen;       //大的串置为行
int cLen = xLen < yLen ? xLen : yLen;       //小的串置为列
int[][] c = new int[rLen][cLen];            //矩阵c保存状态
for (int i = 1; i < rLen; i++) {
for (int j = 1; j < cLen; j++) {
if (x.charAt(i - 1) == y.charAt(j - 1)) {   //相等，由斜对角线+1
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
} else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {    //不相等，选取较大的
c[i][j] = c[i - 1][j];
} else {
c[i][j] = c[i][j - 1];
}
}
}
return c[xLen - 1][yLen - 1];               //最后那个就是最长的公共序列数量
}

//记录值的状态，便于后面回溯
public static int[][] getTrace(String x, String y) {
int xLen = x.length() + 1;
int yLen = y.length() + 1;

int rLen = xLen > yLen ? xLen : yLen;
int cLen = xLen < yLen ? xLen : yLen;
int[][] c = new int[rLen][cLen];
int[][] b = new int[rLen][cLen];
for (int i = 1; i < rLen; i++) {
for (int j = 1; j < cLen; j++) {
if (x.charAt(i - 1) == y.charAt(j - 1)) {
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
b[i][j] = 2;
} else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {
c[i][j] = c[i - 1][j];
b[i][j] = -1;
} else {
c[i][j] = c[i][j - 1];
b[i][j] = 0;
}
}
}
return b;
}

// 递归实现回溯，然后打印出最长公共子序列（不连续子序列）
public static void print(int[][] b, String s, int i, int j) {
// 递归终止条件
if (i == 0 || j == 0) {
return;
}

if (b[i][j] == 2) {
print(b, s, i - 1, j - 1);
System.out.print(s.charAt(i - 1) + " ");
} else if (b[i][j] == -1) {
print(b, s, i - 1, j);
} else if (b[i][j] == 0) {
print(b, s, i, j - 1);
}
}

}

输出结果：
4

B C B A