动态规划 - 划分型 - 能量项链

能量项链

总时间限制: 10000ms 单个测试点时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB

描述

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

输入

输入文件energy.in的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出

输出文件energy.out只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例输入

4

2 3 5 10

样例输出

710

思路1：针对不同情况进行划分DP：当范围为1到n时，通过枚举分割点将珠子分为两份，再取合并两份珠子的最大值；当范围不为1到n时，再将问题看做一般的划分DP。

这样写代码比较复杂，最后只过了9个点，实在看不出哪里写错了。

思路2：将n份珠子复制为2n份，然后对(1,n), (2,n+1), (3,n+2), …, (n, 2n-1) 进行一般的划分DP。这样代码量较小，不容易写错。

划分DP还是记忆化搜索好写一点。

参考代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <map>
#include <set>
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;

const int maxn=105;
int n;
int num[maxn];
int f[2*maxn][2*maxn]; //要复制为2n份

struct ball
{
int left;
int right;

ball(int left=0,int right=0):left(left),right(right)
{
}
} balls[2*maxn];

namespace Regular
{
int dp(int from=1, int to=n, int depth=1)
{
if(f[from][to]!=-1) return f[from][to];
if(from==to) return f[from][to]=0;
if(to-from==1) //边界情况
{
return f[from][to]=balls[from].left * balls[to].right * balls[from].right;
}

int ans=0;
for(int i=from; i<to; i++)
{
ans=std::max(ans,dp(from,i,depth+1)+dp(i+1,to,depth+1)+
balls[from].left * balls[to].right * balls[i].right); //一般的划分DP写法
}
return f[from][to]=ans;
}

void run()
{
memset(f,-1,sizeof(f));
int ans=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
ans=std::max(ans,dp(i,i+n-1)); //这里相当于在枚举其中的一个分割点，然后将剩余问题通用化
}
printf("%d\n",ans);
}
void input()
{
scanf("%d",&n);

for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&num[i]);
}

for(int i=1; i<=n; i++) //将给的数字转换为珠子，方便思考
{
balls[i].left=num[i];
if(i!=n) balls[i].right=num[i+1];
else balls[i].right=num[1];
}
for(int i=1,j=n+1; i<=n; i++,j++) //复制
{
balls[j]=balls[i];
}
}
}

int main()
{
Regular::input();
Regular::run();
return 0;
}